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A11141001_陈超_唐梦珏_杨克宇1
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摘要本文研究的是嫦娥三号探测器在月球表面的软着陆问题。分析着陆轨道的特点,设计探测器的着陆轨道与各阶段的控制策略,对我国太空探测计划具有重要意义。本文主要采用微
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2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参
赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”,可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网
上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的,如果引用别人的成果或
其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文
引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛章程和参赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有
违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会,可将我们的论文以任何形式进行公开展
示(包括进行网上公示,在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。
我们参赛选择的题号是(从 A/B/C/D 中选择一项填写): A
我们的报名参赛队号为(8 位数字组成的编号): 11141001
所属学校(请填写完整的全名): 浙江工业大学
参赛队员 (打印并签名) :1. 陈超
2. 唐梦珏
3. 杨克宇
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 宋军全
(论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。以上内容
请仔细核对,提交后将不再允许做任何修改。如填写错误,论文可能被取消评奖资格。)
日期: 2014 年 9 月 15 日
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
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全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
1
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
摘要
本文研究的是嫦娥三号探测器在月球表面的软着陆问题。分析着陆轨道的特点,
设计探测器的着陆轨道与各阶段的控制策略,对我国太空探测计划具有重要意义。本
文主要采用微分动力学方程、最优控制策略等方法对问题进行分析和解决。
针对问题一,首先根据近月点和远月点的已知高度,利用角动量守恒和机械能守恒
定律求得嫦娥三号在两点处的速度大小及方向。其次,由于嫦娥三号的着陆轨迹尚未
确定,仅根据题给的着陆点信息无法确定近月点的精确位置,故通过构造假设:(1)
嫦娥三号在着陆过程中近似于沿着一条经线着陆,运动中仅改变纬度大小;(2)主减
速阶段的水平路程近似为软着陆全程的水平路程。从而求出近月点在理想状态下的近
似位置。最后通过问题二设计的轨道控制策略,进一步修正近月点和远月点的精确位
置。得到嫦娥三号在近月点和远月点处的速度及位置如下表所示:
地点
经度
纬度
高度
速度大小
速度方向
近月点
19.51W
29.08N
15 km
1.6927 km/s
逆时针沿切线方向
远月点
160.49E
29.08S
100 km
1.6144 km/s
逆时针沿切线方向
针对问题二,忽略月球自转及摄动因素,将嫦娥三号的着陆过程近似为在一个平
面内的运动,构建二维坐标系对嫦娥三号 6 个阶段进行控制策略设计。结果如下:
对于着陆准备轨道阶段,以变轨时间最短为目标函数,采用推力最大策略变轨进
入椭圆轨道,得到最短变轨时间为 21.07s。
对于主减速阶段,引入二维极坐标下的微分动力学方程描述运动过程,以燃耗最
小为优化目标,采用推力大小恒为最大值 7500N 且角度线性变化的控制策略,求得推
进剂质量消耗的最小值为 1242.3kg;对于快速调整阶段,以最小燃耗为目标,以在降
至 2.4km 高度前水平速度达到零为约束条件,建立非线性规划模型,采用与水平速度
反向的变推力为控制策略,得到推进剂质量消耗为 20kg。
对于粗避障阶段,将着陆的控制策略分为最优着陆区域的查找和着陆过程的控制
两方面。在着陆区域的查找阶段,通过图像高程值众数
4 高程值定义平地,将高程图
划分为若干个 10
10 像素的单元格,以各单元格高程方差最小,平移距离最近为目标
函数,以 7:3 的权重对每个单元格求加权得分,从而选取最优着陆区。在着陆过程的
控制阶段,对着陆过程进行动力学分析,给出沿直线方向到达着陆区域的控制策略。
对于精避障阶段,控制策略与粗避障相似,但对月面的识别精度及对落地区域的
平稳程度要求远高于粗避障阶段。故将高程图划分为 50
50 像素进行讨论,同时定义
每个像素点与其周围 8 个点的差值平方和为其坡度,用以反映平面的平稳程度,从而
更精确求出最佳落地区域。精避障在着陆过程的控制方案与粗避障相同。
对于缓速下降阶段,由于其时间较短,故认为探测器质量不发生变化。在此基础
上,利用动力学知识,推导出发动机推力与初始速度的关系式即控制策略。
针对问题三,从着陆的初始条件、可调节推力的延时及月球自转三方面考虑误差。
对于初始条件,从月球半径的选取、初始高度的不确定及初始速度的理想计算三个角
度分析系统误差,得到它们对主减速阶段的角速度、线速度及水平路程的影响结果。
对于推力延时误差,通过控制频率及单步推力分辨率,求得推力从 0 增大至 7500N 需
要 1.2s 时间。对于月球自转误差,求得近月点经度的相对误差达 2.42%。其次,针对
嫦娥三号的运行高度、径向速度及水平速度,通过推力、近月点高度和比冲三个变量
以
5%变动进行灵敏度分析,同时联系实际进行稳定性说明。
关键词:最优控制 微分方程 避障规划 灵敏度分析
2
1 问题重述
嫦娥三号在北京时间 2013 年 12 月 14 号在月球表面实施软着陆,其如何实现软着
陆成为外界关注的焦点。嫦娥三号在高速飞行的情况下,要保证准确地在月球预定区
域内实现软着陆,关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。由于月球上没有大气,嫦
娥三号无法依靠降落伞着陆,只能靠变推力发动机,才能完成软着陆的相关任务。据
了解,嫦娥三号主发动机能够产生从 1500 牛到 7500 牛的可调节推力,进而对嫦娥三
号实现精准控制。
嫦娥三号着陆轨道设计的基本要求为着陆准备轨道为近月点 15km,远月点 100km
的椭圆形轨道;着陆轨道为从近月点至着陆点,其软着陆过程共分为主减速、快速调
整、粗避障、精避障、缓速下降和自由落体 6 个阶段,要求满足每个阶段在关键点所
处的状态;尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
请建立数学模型研究下列问题:
(1)确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
(2)确定嫦娥三号的着陆轨道以及在 6 个阶段的最优控制策略。
(3)对设计的着陆轨道和控制策略进行相应的的误差分析和敏感性分析。
2 问题分析
2.1 问题一
本小题要求确定嫦娥三号着陆准备轨道的近月点和远月点的位置及嫦娥三号相应
的速度大小与方向。
对于嫦娥三号在近月点和远月点处的速度大小及方向,在近月点和远月点高度已
知的情况下,可依据机械能守恒和角动量守恒定律求解得到,并与题给附件中的近月
点制动速度对比验证。
对于近月点和远月点的位置,可以用点在月球表面投影点的经纬度及点的高度进
行描述。近月点在月心坐标系的位置和软着陆轨道形态共同决定了着陆点的位置,由
于着陆轨道的具体轨迹尚未确定,仅根据着陆点的位置并不能确定近月点和远月点的
精确方位。因此,考虑能量消耗最小的基准上,可以通过设定以下理想状态对模型进
行简化:
(1)假设嫦娥三号准备软着陆轨道沿月球经线绕行,软着陆过程近似于沿经线运
动,运动过程中仅改变纬度大小。
(2)假设主减速阶段的水平路程近似为软着陆的水平路程。
由以上两条假设及查阅文献获取主减速阶段航程,并由此初步确定近月点和远月点
的近似位置。当问题二中设计出了软着陆控制策略及着陆轨道后,通过求解在该控制
策略下的水平路程,对近月点和远月点的位置进行修正,从而得到近月点和远月点的
精确位置。
2.2 问题二
本小题要求确定嫦娥三号的着陆轨道以及在以燃料消耗、安全性等目标下,6 个阶
段的最优控制策略。
3
对于控制策略的目标,由于不同着陆阶段的目的与末态约束不同,其控制目标也
有所区别。在着陆准备轨道阶段,嫦娥三号在远月点从霍曼转移轨道变轨进入椭圆轨
道。从安全性的角度考虑,为使变轨时间最短,采用推力最大策略进行变轨。
在主减速阶段,引入二维极坐标下的微分动力学方程来描述运动过程,该阶段控
制目标是使燃耗最小,而该阶段主要使探测器减速,当主减速发动机的推力达到最大
时,探测器的减速最快。因此可以通过固定推力大小为最大,寻找使燃耗最小的推力
方向。
对于快速调整阶段,为通过主减速发动机使水平速度迅速减小为零,采用与水平
速度反向的变推力作为控制策略,同时借助姿态发动机调节位姿至推力朝向向下;同
时需要在速度和降落高度上满足相关约束条件。因此以最小燃耗为目标,建立非线性
规划模型设计控制策略。
粗避障阶段和精避障阶段的控制策略相似,皆以着陆安全性为主要目标,适当考
虑燃耗最小,可通过寻找着陆区域和着陆区控制策略两个方面对着陆过程进行设计。
但精避障阶段在寻找着陆区域时,对落月点的安全性以及精确度要求显然更高。可通
过分析嫦娥三号尺寸大小将悬停状态拍到的数字高程图区域网格化,将区域划分为若
干网格,寻找符合着陆条件的危害性小并使平移距离尽量小的地区。选定地区后,通
过直线移动使得能量消耗较小的控制策略进行控制。
对于缓速下降阶段,其控制时间较短,考虑视探测器质量不变以简化求解。在此
假设下,问题就转化为求一使得探测器满足缓速下降至月面 4m处速度为 0 约束的推力
的简单动力学问题。
2.3 问题三
本小题要求对问题二中的控制策略及着陆轨道设计进行误差及灵敏度分析。对于
误差,将其分为初始条件误差、可调节推力的延时误差及月球自转引起的误差三部
分。对初始条件,从月球半径的选取、初始高度的不确定及初始速度的理想计算三方
面进行系统误差讨论分析其对主减速阶段的各参量的影响;对推力延时系统误差,通
过查阅控制频率及单步推力分辨率进行分析,发现其推力变动存在一定滞后延时性。
对月球自转误差,结合近月点的经度误差进行分析说明。对于敏感性,对嫦娥三号高
度、径向速度及水平速度,通过推力,近月点高度,比冲的
5%
变动进行灵敏度分
析,并联系实际讨论其灵敏意义及稳定性。
3 模型假设
1. 假设月球自转和公转对嫦娥三号运动的影响可以忽略。
2. 假设嫦娥三号的尺寸远小于它和月球的距离,可视为质点。
3. 假设嫦娥三号始终正常工作,在控制过程中不发生任何故障。
4. 假设姿态调整发动机对嫦娥三号质量及速度大小产生的影响可以忽略。
5. 假设嫦娥三号在椭圆轨道上运动时,月球对其引力远大于地球及其他星体引力,可
忽略地球和其他星球引力的摄动因素。
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xhmoon
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