第3章 Configuration Space（下）1

Configuration Space（下）

文档作者：李拥祺

注： 本文大部分内容来源于这本书：

Principles of Robot Motion: Theory, Algorithms, and Implementations[M]. MIT Press, 2005.

由于内容较多，我将笔记分为上下两个部分

4. 构型空间的拓扑（topology）

拓扑是数学上用来研究当物体受到任意连续的变化后那些不变的属性；

举个例子：橡胶板上画了一个多边形，无论怎么拉扯这个橡胶板，这个多边形的有一些性质是不变

圆形移动机器人的构型空间 可以想象成一个无限大的橡胶板，无论我们无论我们怎么拉伸

和变形（除非撕裂）它，始终不会出现一个洞；

对于拓扑学来说，所有橡胶甜甜圈都是一样的，同样所有橡胶板也是一样的；

书上图片 3-10 所示的那个咖啡杯表面和圆环表面是拓扑等价的。

我们关注构型空间的拓扑结构的原因：

影响我们对构型空间的表示；

如果我们的路径规划算法在某一个构型空间上有效，那么在其拓扑等价的构型空间上也基本有

效；

拓扑学中的两种连续变换：同胚（Homeomorphisms）和微分同胚（Diffeomorphisms）

4.1 Homeomorphisms and Diffeomorphisms

例子：

是双射

是满射

双射具有很好的性质，如在集合 上的所有点都存在逆，我们可以在空间 和 之间来来

回回。

定义一个双射 ，并且 是连续的

称 是一个同胚的或 是同胚的；

例子：三个一维 曲面

圆

椭圆

跑道 ，其中 是一个分段函数，具体表达方程可以见

书；

两者与 都不是微分同胚的，因为 不是连续可微的；

一个全局微分同胚映射；

平面二连杆的构型空间 与 不是微分同胚，只是局部微分同胚，如果关节旋转角度有大

小限制 ，那么平面二连杆的构型空间就成为了 的一个开子集，它与 是

微分同胚的。

你可以这么理解：限制了关节的旋转角度之后，每个关节的旋转角是 的一个开区间

，我们可以拉伸这个开区间使其覆盖整条直线 ；

例如 就可作为一个拉伸函数；

4.2.1 流形

集合 中的任意一点都存在一个邻域与 中的一个开集是同胚的，即集合 与 局部同胚，

配了一组坐标；同时，逆微分同胚 被认为是流形的参数化。

例子：平面圆

考虑一个一维流形

，我们都可以找到其一个邻域与 微分同胚

例如考虑这个圆的上半部分 ，卡 ，其中

，这时候 就可以作为上半圆的一个局部坐标系。