相关矩阵组的低复杂度计算和存储建模1
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2022-08-08
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1
2021 年中国研究生数学建模竞赛 A 题（华为题目）
相关矩阵组的低复杂度计算和存储建模
一、问题背景
计算机视觉、相控阵雷达、声呐、射电天文、无线通信等领域的信号通常呈
现为矩阵的形式，这一系列的矩阵间通常在某些维度存在一定的关联性，因此数
学上可用相关矩阵组表示。例如，视频信号中的单帧图像可视为一个矩阵，连续
的多帧图像组成了相关矩阵组，而相邻图像帧或图像帧内像素间的关联性则反映
在矩阵间的相关性上。随着成像传感器数量/雷达阵列/通信阵列的持续扩大，常
规处理算法对计算和存储的需求成倍增长，从而对处理器件或算法的实现成本和
功耗提出了巨大的挑战。因此，充分挖掘矩阵间关联性，以实现低复杂度的计算
和存储，具有十分重要的价值和意义。
二、建模描述
给定一组复数矩阵
𝑯
=
𝑯
𝑗,𝑘
，
𝑯
𝑗,𝑘
∈
ℂ
𝑀
×
𝑁
,
𝑗
=
1,…,𝐽,𝑘
=
1,…,𝐾
。其中，矩阵
之间以及同一矩阵的元素之间有一定的相关性，包括：相同
𝑗
下标、不同
𝑘
下标的
矩阵间存在一定的关联，即
𝑯
𝑗,1
,
𝑯
𝑗,2
,
𝑯
𝑗,3
,⋯,
𝑯
𝑗,𝐾
间存在关联
1
；且矩阵
𝑯
𝑗,𝑘
=
ℎ
(𝑗,𝑘)
1,1
ℎ
(𝑗,𝑘)
1,2
ℎ
(𝑗,𝑘)
1,3
⋯
ℎ
(𝑗,𝑘)
1,𝑁
ℎ
(𝑗,𝑘)
2,1
ℎ
(𝑗,𝑘)
2,2
ℎ
(𝑗,𝑘)
2,3
⋯
ℎ
(𝑗,𝑘)
2,𝑁
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
ℎ
(𝑗,𝑘)
𝑀,1
ℎ
(𝑗,𝑘)
𝑀,2
ℎ
(𝑗,𝑘)
𝑀,3
⋯
ℎ
(𝑗,𝑘)
𝑀,𝑁
的各个元素间
ℎ
(𝑗,𝑘)
𝑚,𝑛
, 𝑚
=
1,…,𝑀,𝑛
=
1,…,𝑁
，也存在关联。
定义矩阵组
𝑯
=
𝑯
𝑗,𝑘
上的一组数学运算，其中间结果
𝑽
=
𝑽
𝑗,𝑘
由如下的公
式给出：
𝑽
𝑗,𝑘
=
𝑠𝑣𝑑
𝑯
𝑗,𝑘
,
or
𝑯
𝑗,𝑘
=
𝑼
𝑗,𝑘
𝑺
𝑗,𝑘
𝑽
𝐻
𝑗,𝑘
,
𝑽
𝑗,𝑘
=
𝑽
𝐻
𝑗,𝑘
(
:,1:𝐿
)
𝑗
=
1,…,𝐽
;
𝑘
=
1,…,𝐾
1
在本问题中，仅考虑同一行块内部的
𝐾
个矩阵间的相关性，不考虑矩阵组
𝑯
中属于不同行块的矩阵（即，不同
𝑗
下标的矩阵）
间的相关性。
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