统计模型及其R实现笔记202002181

【统计模型及其R实现笔记】 本笔记主要探讨的是统计建模中的一个重要概念——变量选择，以及如何在R语言中实现这些方法。统计模型通常用于分析数据中的关系，例如在回归分析中，通过建立数学公式来描述因变量和一个或多个自变量之间的关系。在回归模型 Yi = Xiβ + ε（1.1）中，Yi 是因变量，Xi 是自变量向量，β 是参数向量，ε 是误差项。模型假设误差项E(ε|Xi = x) = 0（1.2），这意味着在给定Xi的情况下，误差项的期望值为零。 均值回归模型（Mean regression）是最常见的回归形式，它的目标是最小化预测值与实际值的平方误差之和。在样本数据{(xi, yi)}的条件下，最小二乘估计（OLS，Ordinary Least Squares）给出的参数估计为^βOLS = (X'X)^-1X'y（1.5）。这里的X是设计矩阵，y是响应变量向量。 然而，当自变量之间存在高度相关性（即完全共线性），即X'X不可逆时，OLS估计可能无法得出，这是变量选择的一个关键问题。此时，引入正则化技术如LASSO（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）可以解决这个问题。 1.1 LASSO及其拓展 LASSO通过在最小化误差平方和的基础上添加一个L1范数惩罚项，即λ||β||1，来鼓励某些参数估计值变为零，从而进行变量选择。L1惩罚导致估计量具有稀疏性，即很多参数估计为零，从而降低了模型复杂度。LASSO不仅用于变量选择，还可以降低过拟合的风险。 1.2 算法实现 两种常用的求解LASSO问题的算法是： - 二次逼近算法：通过构造二次逼近函数来迭代求解。 - 坐标下降法：依次对每个参数进行优化，其他参数固定，直至收敛。 1.2.1 二次逼近算法：这种方法基于梯度和Hessian矩阵，构建二次逼近模型，然后求解该模型的最优解。 1.2.2 坐标下降法：逐步更新每个参数βj，每次只优化一个参数，其他参数保持不变，直至所有参数达到最优。 1.3 组变量选择 除了单独选择单个变量，有时需要考虑一组变量作为一个整体进入模型。这在处理类别变量或有相关性的变量集合时特别有用。组选择方法如Elastic Net结合了L1和L2范数，既能实现变量选择，又能保持部分变量间的关联性。 在R中，可以使用如glmnet等包来实现LASSO和Elastic Net等正则化方法。 统计模型的变量选择是一个重要的问题，特别是在处理大量数据和高维特征时。LASSO等正则化技术提供了有效的解决方案，同时R语言提供了丰富的工具和库来实现这些方法。了解和掌握这些技术对于理解和预测数据关系，以及构建有效的统计模型至关重要。