期中考试题目1

在本次的期中考试题目中，我们涉及到多个与矩阵理论和数值分析紧密相关的知识点，包括迭代法的收敛性、矩阵的条件数、病态性、范数、逆矩阵的存在性及性质、Householder变换和Givens变换以及QR分解。下面我们将详细探讨这些概念。 一、迭代法的收敛性 迭代法是求解线性方程组的一种方法，例如高斯-塞德尔迭代法或雅可比迭代法。给定迭代公式 `(λ_k+1) = λ_k + (f(x_k) - f'(x_k)(λ_k - x_k))`，其中 `λ` 是迭代变量，`f` 是目标函数，`f'` 是其导数。要使得迭代法收敛至方程 `f(x) = 0` 的唯一解，必须要求迭代系数 `ω` 与矩阵 `f'(x)` 的特征值的关系满足一定的条件。通常，要求 `|ω| < 1/σ_max`，其中 `σ_max` 是矩阵 `f'(x)` 的最大特征值模长，以确保收敛性。最优的渐进收敛速度是指选择 `ω` 使得收敛速度最快，这通常意味着 `ω` 应该接近于 `f'(x)` 的逆矩阵的最大特征值的倒数。 二、矩阵操作 1. 求对角元素为正的矩阵 `P`，使得 `PAP^T = D`，其中 `D` 是对角矩阵。这是一道对角化问题，需要找到一个正交矩阵 `Q` 使得 `Q^TAP = D`，然后 `P = QD^(1/2)`。 2. 解线性方程组 `Ax = b`，这里 `A` 是给定的矩阵，`b` 是常数向量。可以采用高斯消元法、LU分解或迭代方法来解决。 三、矩阵条件数与病态性 1. 矩阵条件数衡量了矩阵操作的稳定性，它是矩阵范数与其逆矩阵范数的乘积。条件数大表明矩阵操作对输入小的改变敏感，即矩阵是病态的。 2. 矩阵的病态性确实与选取的范数有关。不同范数会揭示矩阵的不同特性，例如2-范数强调列向量的长度，而1-范数强调行向量的和。 四、迭代法与局部收敛 1. 对于给定的迭代公式 `x_{k+1} = x_k - αf(x_k)`，证明其在 `x_∗ = (1,1,1)^T` 处局部收敛。这需要分析迭代函数的Jacobian矩阵并确定其在 `x_∗` 处的特征值。 2. Newton法的迭代公式是 `x_{k+1} = x_k - J^{-1}(x_k)f(x_k)`，其中 `J` 是目标函数的雅可比矩阵。用 `(0,1,1)^T` 作为初始值，计算 `x_1`。 五、逆矩阵的性质 如果 `A` 是非奇异的，且 `||I - A^{-1}B|| < 1 ||A^{-1}||`，那么 `B` 也是非奇异的，并且可以证明以下不等式： 1. `||B|| < ||A^{-1}|| / (1 - ||I - A^{-1}B||)` 2. `||B^{-1} - A^{-1}|| < ||A^{-1}||^2 / (1 - ||I - A^{-1}B||)` 六、矩阵变换 1. Householder变换是一种用于对角化或简化矩阵的线性变换，通过反射构造得到。给定矩阵 `A`，我们需要找到相应的反射矩阵 `P`。 2. Givens变换用于消除矩阵的非零元素，逐步得到QR分解。在 `B=QR` 中，`Q` 是正交矩阵，`R` 是上三角矩阵。 3. 使用QR分解进行一次迭代，得到 `A_2`，并证明 `A_2` 与 `B` 相似，即存在一个可逆矩阵 `P` 使得 `A_2 = PBP^{-1}`。 这些题目涵盖了数值线性代数中的核心概念，包括迭代法的收敛性分析、矩阵的运算与性质、矩阵的稳定性、以及矩阵变换等，这些都是理解和应用数值算法的基础。