数字图像处理 人脸识别项目1
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2022-08-03
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数字图像处理 ⼈脸识别项⽬
17341190 叶盛源
数据科学与计算机学院
PCA算法原理
PCA（Principal Component Analysis）是⼀种常⽤的数据分析⽅法。PCA通过线性变换将原始数据变
换为⼀组各维度线性⽆关的表示，可⽤于提取数据的主要特征分量，常⽤于⾼维数据的降维。PCA的思
想是将n维特征映射到k维空间上 ，这k维特征是全新的正交特征，是通过PCA的算法重新构造出来
的k维特征。
在线性代数中，矩阵乘法可以看作⼀个线性的变换，相当于对向量的维度进⾏变换。这是PCA降维的基
础。
协⽅差
如上⾯的⼆维情况，如果我们必须使⽤⼀维来表示这些散点，⽬标就是找到⼀个矩阵，对这些向量线性
变换改变维度后，将这些点投影到⼀条直线上。投影后如果想要尽可能区分这些不同的点，我们需要让
投影后的点之间尽量分离，也就是⽅差要尽量⼤。可以⽤数学上的⽅差来表述。被形式化表述为：寻找
⼀个⼀维基，使得所有数据变换为这个基上的坐标表示后，⽅差值最⼤。
对于上⾯的⼀维问题来说可以这样解决，如果是更⾼维度的情况，⽐如三维要降到⼀维，我们需要找到
两个基⽅向。⾸先，我们还是先要找到⽅差最⼤的基⽅向，然后再重复⼀次上⾯的操作找第⼆个，不过
如果两次都是找⽅差最⼤的基⽅向，两次找到的⽅向就会相同（这样得到的两个基就没有意义，因为重
复表示了特征）。所以我们还需要增加⼀个条件，就是要求找到的基向量要线性⽆关，也就是找到的两
个向量最好是垂直的，也就是最好代表不同特征的⽅向。
因此，我们得到了降维问题的优化⽬标：将⼀组N维向量降为K维，其⽬标是选择K个单位正交基，使得
原始数据变换到这组基上后，各个特征两两间协⽅差为0，⽽特征的⽅差则尽可能⼤，在正交的约束
下，取最⼤的K个⽅差。
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