2019-2020 算法基础 期末试卷及答案1

这篇资料是关于2019-2020学年第一学期算法基础课程的期末试卷及部分答案。试卷主要考察了算法分析与复杂性相关的知识，包括数学证明、二叉树性质的应用、查找算法的效率分析以及递归方程的解法。 1. 题目证明了当函数f(n)=2^n log_2 n >= 2^(n/2)时，即存在n0=2，对于所有n>=n0，有f(n)>=2g(n)且g(n)>=0。这说明f(n)是g(n)的Ω级大O符号表示，表明f(n)的增长速度至少与g(n)相同。这个证明涉及到大O和Ω符号在算法复杂性分析中的应用，用于描述算法的时间或空间复杂度。 2. 这道题是关于二叉树性质的选择题，选项c可能是关于二叉搜索树或者有序树的问题，其中提到在查找某个节点的序列中，大于该节点的序列是逆序，小于节点的序列是顺序。这体现了二叉搜索树的特点，即左子树所有节点小于父节点，右子树所有节点大于父节点。 3. 第三题是关于查找最大值和最小值的算法效率问题。题目中给出的方法是每次比较两个元素，分别更新最大值和最小值，说明了这种策略在处理奇数个元素时的比较次数。这涉及到排序算法中的比较次数计算，对于寻找最大值和最小值，这样的策略是线性的，时间复杂度为O(n)。 4. 第四题是一个递归方程的解题，采用了主方法（Master Theorem）来分析递归关系式T(n) = 4T(n/3) + 5n。根据主方法的三个规则，判断出这是第一种情况，即a=4，b=3，log_b a=log_3 4>1，所以T(n)的时间复杂度为Θ(n log^2_3 n)。 5. 最后一题提供了两种证明方法，一是直接代入法，二是通过构造递归树来分析算法复杂度。这种方法通常用于分析分治策略的递归算法，比如快速排序或归并排序。这里可能涉及到递归树的构建、分治算法的时间复杂度上界和下界的计算。 这份试卷涵盖了算法基础的多个关键点，包括算法复杂性分析、二叉树性质、查找算法以及递归方程的解决策略。这些问题对于理解算法的本质、评估算法效率以及设计高效算法至关重要。