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概率论课件合集1
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教师简介姓名何志坚职称数学学院副教授研究兴趣统计模拟与计算、随机算法、金融工程联系方式办公地址五山校区四号楼4301个人主页2 / 66教材主要教材:何春雄,龙
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教师简介
姓 名 何志坚
职 称 数学学院副教授
研究兴趣 统计模拟与计算、随机算法、金融工程
联系方式 hezhijian@scut.eud.cn (by email only!)
办公地址 五山校区四号楼4301
个人主页 www.hezhijian.com
2/66
教材
主要教材:
何春雄,龙卫江,朱锋峰。概率论与数理统计。高等教育出版社。2012.
辅助教材:
茆诗松,程依明,濮晓龙。概率论与数理统计教程(第二版)。高等教育出
版社。2011.
Jay L. Devore. Probability and Statistics (第5版)(影印版), 高等教育出版社,
2004.
薛毅,陈立萍。R语言实用教程。清华大学出版社。2014.
3/66
教学安排
上课时间:1-16周每周五上午,9-16周每周三下午(48学时)
上课地点:大学城校区A1-308
公共邮箱:myslideshare@163.com(密码:sharemyslide)
第一章 随机事件与概率 1-5周(10学时)
第二章 一维随机变量及其分布 6-8周(6学时)
第三章 随机向量及其分布 9-10周(6学时)
第四章 随机变量的数字特征 10-11周(6学时)
第五章 大数定律和中心极限定理 12周(4学时)
第六章 数理统计的基本概念 13周(4学时)
第七章 参数估计 14-15周(6学时)
第八章 假设检验 15-16周(4学时)
总复习 总复习 16周(2学时)
4/66
R软件(自学)
R软件下载地址:https://www.r-project.org/
RStudio编辑器: https://www.rstudio.com/
5/66
考核方式
最终成绩 = 平时成绩(30%) + 期末成绩(70%)
平时成绩:作业+考勤
期末考试:闭卷、百分制、统一出卷和改卷
学霸模式:如果期末考满分,则最终成绩为满分!
6/66
几点说明
遵守课堂纪律,请参考《学生手册》。
考试结束后不接受分数查询,也不接受任何求情。
质疑分数者可按有关规定查阅试卷。
欢迎找我讨论问题(课间、办公室或者邮件),但希望你的问题是“经过
思考的”。在提问前,我鼓励大家事先通过网上资源或者与同学交流来寻
找答案。这样可提高自学能力。
欢迎对本课程提宝贵意见,发送至hezhijian@scut.edu.cn
7/66
学这门课程有什么用?
可以凑学分,毕业?
可以学到有用的知识?
用严格的数学方法研究随机现象!
8/66
案例
用1部新手机充电五分钟测试,观测通话时间为1.5h
用50部新手机充电五分钟测试,观测50次通话时间为
1.7 1.8 1.3 2.1 2.3 ··· 2.5
每次测试通话时间是随机的
如何刻画这样的规律?概率论:概率分布
如何基于这些实验数据做出判断?统计学:假设检验
9/66
第第第一一一章章章:::随随随机机机事事事件件件与与与概概概率率率
10/66
随机现象与随机试验
目录
1
随机现象与随机试验
2
概率的定义
确定概率的频率方法
确定概率的古典方法
确定概率的几何方法
确定概率的主观方法
概率的公理化定义
3
条件概率与独立性
条件概率
乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式
事件的独立性和试验的独立性
11/66
随机现象与随机试验
随机试验、随机现象和随机事件
随机试验特点:可重复性、不可预知性
随机试验观测到的现象为随机现象
- 概率论与数理统计研究的对象
- 概率论研究随机现象的统计规律
- 数理统计研究随机现象的数据收集与分析
随机试验的某些可能结果组成的集合称为随机事件,简称事件
序号 随机试验 事件A 事件B
(1) 观测一部手机的通话时间 通话时间等于2h 通话时间大于2h
(2) 观测一颗骰(t´ou)子的点数 点数为奇数 点数为偶数
(3) 某新型药的治疗效果 治疗有效 治疗无效
12/66
随机现象与随机试验
样本空间与随机事件
样本空间:随机试验所有可能结果的集合称为样本空间。常用Ω表示。
样本点:样本空间的元素称为样本点,常用ω表示。
序号 随机试验 样本空间
(1) 观测一部手机的通话时间 Ω=[0, ∞)
(2) 观测一颗骰(t´ou)子的点数 Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}
(3) 某新型药的治疗效果 Ω={治疗有效, 治疗无效}
有限样本空间:试验(2)和试验(3)
无限样本空间:试验(1)
随机事件是某些样本点组成的集合。
13/66
随机现象与随机试验
随机事件
在一次试验中,当试验结果属于事件A时,称这次试验中事件A发生。否则称事
件A不发生。
必然事件 A =Ω
不可能事件 A = ∅
基本事件/简单事件 A = {ω}, ω ∈ Ω
复合事件 A ⊆ Ω
注意:基本事件是相对的,不是绝对的!
14/66
随机现象与随机试验
例
在一批含有20件正品,5件次品的产品中随机地抽取2件,可能结果如下:
A={2件全是正品}
B={只有1件是正品}
C={2件全是次品}
在不计次序的假定下,A、B、C是基本事件。
如果考虑次序,B不再是基本事件,它可分解为B
1
和B
2
两个基本事件。
B
1
={第1次抽到正品,第2次是次品}
B
2
={第1次抽到次品,第2次是正品}
15/66
随机现象与随机试验
事件的关系
事件的包含: 如果事件A发生,事件B一定发生。则称事件B包含事件A。记
为A ⊂ B。显然A ⊂ Ω。
事件的相等: A = B ⇔ A ⊂ B且B ⊂ A
事件的互斥: A ∩ B = ∅
事件的对立:A ∩ B = ∅且A ∪ B =Ω,记A =
¯
B或者B =
¯
A
考虑投骰子的例子:A ={出现偶数点},B ={出现奇数点},C ={出现点
数1和3},D ={出现点数5和6}, E ={出现点数大于4}
事件A和B的关系?
事件B和C的关系?
事件C和D的关系?
事件D和E的关系?
16/66
随机现象与随机试验
事件的运算:交、并、差
事件的交(或积):A ∩ B或者AB,事件A和B同时发生
事件的并(或和):A ∪ B,事件A和B至少一个发生。若A和B互斥,
则A ∪ B可表示为A + B。
事件的差:A\B,或表示为A − B,事件A发生但事件B不发生
多个事件的交
n
i=1
A
i
,多个事件的并
n
i=1
A
i
韦恩图
17/66
随机现象与随机试验
例
设A、B、C为任意三个事件,写出下列事件的表达式:
AC都发生B不发生。AC \B = A
¯
BC
恰有二个事件发生。AB
¯
C ∪ A
¯
BC ∪
¯
ABC
至少有一个事件发生。A ∪ B ∪ C
三个事件同时发生。ABC
三个事件都不发生。
¯
A
¯
B
¯
C
三个事件不都发生。ABC
18/66
随机现象与随机试验
事件的运算法则
对于任意三个事件A,B,C,满足下列运算:
交换律:AB = BA, A ∪ B = B ∪ A
结合律:(AB)C = A(BC), (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
分配律:A(B ∪ C )=AB ∪ AC , A ∪ (B ∩ C )=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
对偶律:A ∪ B =
¯
A ∩
¯
B, A ∩ B =
¯
A ∪
¯
B
推广到多个事件:
n
i=1
A
i
=
n
i=1
¯
A
i
n
i=1
A
i
=
n
i=1
¯
A
i
19/66
概率的定义
目录
1
随机现象与随机试验
2
概率的定义
确定概率的频率方法
确定概率的古典方法
确定概率的几何方法
确定概率的主观方法
概率的公理化定义
3
条件概率与独立性
条件概率
乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式
事件的独立性和试验的独立性
20/66
概率的定义 确定概率的频率方法
概率的统计定义
频率的定义:设事件A在n次试验中出现了r 次,则比值r /n称为事件A在n次试验
中出现的频率。
概率的统计定义:在同一组条件下所作的大量重复试验中,事件A出现的频率
总是在区间[0, 1]上的一个确定的常数p附近摆动,并且稳定于p
(频率的稳定
值),则p称为事件A的概率,记作P(A)。
注意:P(这里面只能为事件!)。如,P(骰子的点数)=1/6是错误的。
21/66
概率的定义 确定概率的古典方法
古典概率
古典概型的随机试验要求满足下两条件:
有限性。只有有限多个不同的基本事件。
等可能性。每个基本事件出现的可能性相等。
在古典概型中,如果基本事件(样本点)的总数为n,事件A所包含的基本事件
(样本点)个数为r(r ≤ n),则定义事件A的概率P(A)为r /n。即
P(A)=
r
n
=
A中包含的基本事件的个数
基本事件的总数
简单例子:抛均均均匀匀匀的的的硬币、骰子
思考: 古典概型的取值范围?
22/66
概率的定义 确定概率的古典方法
例1:抽球类型
袋中有a个黄球,b个白球,从中接连任意取出k个球(k ≤ a + b),且每次取出
的球不不不再再再放放放回回回去去去,求第k次取出的球是黄 球的概率?
事件A={第k次取出的球是黄球}
基本事件?
是否是古典概型?有限性、等可能性?
解法一:考虑第1次到第k次的取球结 果。
P(A)=
C
1
a
A
k−1
a+b−1
A
k
a+b
=
a
a + b
解法二:只考虑第k次 的取球结果。
P(A)=
C
1
a
C
1
a+b
=
a
a + b
结论:抽签与顺序无关(如同有放回的情况)!基本事件是相对的!
23/66
概率的定义 确定概率的古典方法
例2:m个质点在n个格子中的分布问题
设有m个不同质点,每个质点都以概率1/n落入n个格子(n ≥ m)的每一个之中,
求下列事件的概率:
1
A: 指定m个格子中各有一个质点;
2
B: 任意m个格子中各有一个质点;
3
C: 指定的一个格子中恰有k(k ≤ m)个质点。
解:
P(A)=
m!
n
m
P(B)=
C
m
n
m!
n
m
=
A
m
n
n
m
P(C)=
C
k
m
(n − 1)
m−k
n
m
24/66
概率的定义 确定概率的古典方法
例3:同一天生日问题
某班级有n个人,问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大?(假设一年
有365天)
解:
记A ={n个人中至少有两个人的生日相同}。
¯
A ={n个人中的生日全不相同}, 易
知
P(
¯
A)=
A
n
365
365
n
=
365!
365
n
(365 − n)!
.
因此,
P(A)=1− P(
¯
A)=1−
365!
365
n
(365 − n)!
.
注意:上述只是对n ≤ 365成立。如果n > 365,则显然P(A)=1.
25/66
概率的定义 确定概率的几何方法
概率的几何定义
平面上有可测的区域G 和g,向G 中随机投掷一点M,设M必落在G 内。如M落
在g内的概率只与g 的面积成正比,而与g 的位置和形状无关。这样的随机实
验,称为几何概型。点M落入G 内的部分区域g 的概率为:
P =
g的面积
G 的面积
g
G
M
注意:随机投点是指M落入G 内任一处均是等可能的。
思考: 几何概型的取值范围?
26/66
概率的定义 确定概率的几何方法
例1:会面问题
已知甲乙两船将在同一天的0点到24点之间随机地到达码头,该码头只有一个
泊位。若甲先到达,需停靠6小时后才离开码头。若乙先到达,则要停靠8小时
后才离开码头。问这两船中有船需等候泊位空出的概率?
解:设甲船到达码头
的时刻是x,乙船到达码头的时刻是y ,显
然0 ≤ x, y ≤ 24。若这两船中有船需等候泊位空出,则y − x < 6且x − y < 8.
x
y
24
248
x −y =8
6
y − x =6
P(A)=
24
2
− (16
2
+18
2
)/2
24
2
≈ 0.4965
27/66
概率的定义 确定概率的几何方法
例2:蒲丰投针实验
蒲丰是几何概率的开创者,并以蒲丰投针问题
闻名于世,发表在其1777年的论著《或然性算
术试验》中。
由于通过他的投针试验法可以利用很多次随机
投针试验算出π的近似值,所以特别引人瞩目,
这也是最早的几何概率问题。并且蒲
丰本人对
这个实验给予证明。
1850年,瑞士数学家沃尔夫在苏黎世,用一根
长36mm的针,平行线间距为45mm,投掷5000
次,得π ≈ 3.1596。1864年,英国人福克投掷
了1100次,求得π ≈ 3.1419。1901年,意大利
人拉泽里尼投掷了3408次,得到了准
确到6位小
数的π值。
图: George-Louis Leclerc de Buffon
(1707.9.7-1788.4.16),法国数学
家、自然科学家。
28/66
概率的定义 确定概率的几何方法
例2:蒲丰投针实验
平面上画着一些平行线,它们之间的距离等于a,向此平面任投长度为(<a)
的针,试求此针与任一平行线相交的概率。
解:设x表示针的中点到最近的一条平行线的距离,θ表示针与平行线的交角。
显然0 ≤ x ≤ a/2, 0 ≤ θ ≤ π. 为
使针与平行线相交,必须x ≤
2
sin θ.
a
x
θ
θ
a
2
π
x =
2
sin θ
x
所求的概率为:
P =
2
π
0
sin θ dθ
1
2
πa
=
2
πa
.
若取 = a/2,则
π =1/P.
模拟动画
29/66
概率的定义 确定概率的主观方法
主观概率
统计界的贝叶斯学派认为:一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生的可
能性所给出的个人信念。
天气预报说“明天下雨的概率为90%”
医生说“手术成功可能性为90%”
我说“考试及格的可能性为99%”
注意区别“主观概率”与“主观臆造”。
30/66
概率的定义 概率的公理化定义
概率的公理化定义
前面学了三种概率定义,各有其局限性。
统计概率:要求作大量重复试验。很难观测到稳定值
古典概率:试验结果要求有限、互不相容、等可能。不均匀的硬币
几何概率:落入区域G内任一点是等可能的。高手投飞镖
如何刻画更一般的情况?1900年数学家希尔伯特(Hilbert, 1862–1943)提出要建
立概率的公理化定义来解决这个问题,即以最少的几条本质特征出发去刻画概
率的概念。1933年苏联数学家柯尔莫戈夫(Kolmogorov, 1903–1987)首次提出了
概率的公理化定义,这个定义既概括了历史上几种概率
的共同特征,又避免了
各自的局限性和含混之处,不管什么随机现象,只要满足该定义的三条公理,
才能说它是概率。
31/66
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伯特兰·罗卜
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