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习题 8-72
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第七节 方向导数与梯度习题 8-71. 求下列函数在指定点M 处沿指定方向 l 的方向导数:(1),(3, 4),.解 (1) 由方向(3, 4)可求出与 l
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1
第七节 方向导数与梯度
习题 8-7
1. 求下列函数在指定点
0
M
处沿指定方向 l 的方向导数:
(1) cos( )
z
xy=+,
0
π
(0, )
2
M ,(3,4)
=
−l ;
(2) u xyz
= ,
0
(1,1,1)M , (1,1,1)
=
l .
解 (1) 由方向 (3, 4)=−l 可求出与 l 同向的单位向量为
34
(, )
55
l
=
−e ,
因为函数可微分, 且
ππ
(0, ) (0, )
22
sin( ) 1
z
xy
x
∂
=− + =−
∂
,
ππ
(0, ) (0, )
22
sin( ) 1
z
xy
y
∂
=
−+ =−
∂
,
故所求方向导数为
π
(0, )
2
341
(1) (1)( )
555
z
l
∂
=
−⋅+−⋅− =
∂
.
(2)
函数 u xyz
=
在平面上处处可微, 则
cos cos cos
uu u u
lx y z
α
βγ
∂∂ ∂ ∂
=++
∂∂ ∂ ∂
,
因为 , ,
uuu
yz xz xy
xyz
∂∂∂
===
∂∂∂
, 所以在点 (1,1,1) 处, 1
uuu
xyz
∂
∂∂
=
==
∂∂∂
.
由 (1,1,1)=l 有
3=l
,
于是
1
cos cos cos
3
αβγ
===,
故所求方向导数为
(1,1,1)
1113
111 3
3333
u
l
∂
=⋅ +⋅ +⋅ = =
∂
.
2.
求函数 ln( )
z
xy=+在抛物线
2
4yx
=
上点 (1, 2) 处, 沿着这抛物线在该点处
与
x
轴正向夹角为锐角的切线方向的方向导数.
解 先求切线斜率: 在
2
4yx
=
两边分别求导,得
d
24
d
y
y
x
=
,
苗苗小姐
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