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5. 0,1 6. 1. 1. (6 分) 4. (6 分) 6. (6 分)
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2015 年春季学期线性代数试卷 A 答案
一、填空题(18 分)
1.
−
−
−
333
222
111
2
9
; 2. ; 3.
1
)1)(1(
−
−−
n
n
;
4.
−−
−
231
513
850
; 5. 0,1; 6. 1.
二、选择题(18 分)
1. B; 2. D; 3. B; 4. C; 5. B; 6. D
三 、( 共六题,共 40 分)
1. (6 分)
解:由
+
= 0 得到
=
, 所以
=
.
又因为 A
=
|
|
,则有
|
|
=
|
|
,即有
|
|
= 0 或
|
|
= 1.
当
|
|
= 0时有A = ,与题设矛盾。所以
|
|
= 1.
2.(8 分)
解:令 A =
(
)
=
2 3 2 4
0 1 1 2
2 1 0 0
初等行变换
2 0 1 2
0 1 1 2
0 0 0 0
,
向量组 {
} 的秩是 2,一个极大线性无关组是 {
,
},
=
+
,
=
+ 2
.
3.(8 分)
解:由 AB = A + B 得到
(
A I
)
B = A,所以
B = ()
=
0 3 0
2 0 0
0 0 1
1 3 0
2 1 0
0 0 2
=
0
0
0 0
0 0 1
1 3 0
2 1 0
0 0 2
=
1
0
1 0
0 0 2
.
4. (6 分)
证明:(反证法)假设
+
是矩阵 A 的特征向量,则
+
0,且存在常数使
A
(
+
)
=
(
+
)
=
+
.
由题设可知 A
=
,A
=
,即
A
(
+
)
=
+
.
16−
李诗旸
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