概率统计往年期末考试题1（解答提示）1

【概率统计知识点详解】 概率统计是一门研究随机现象和数据统计分析的学科，涉及大量理论与实际应用。以下是对题目中出现的知识点的详细解析： 1. **极大似然估计**： - 在统计学中，极大似然估计是估计未知参数的一种方法。通过寻找使样本观测值出现可能性最大的参数值来估计未知参数。例如，在第四题中，要求求解总体概率密度为$f(x,\theta) = \frac{1}{2\theta}e^{-|x|/\theta}$的未知参数$\theta$的极大似然估计。我们需要构建似然函数，对所有样本观测值$x_1, x_2, ..., x_n$进行累乘，然后取对数，最大化这个对数似然函数。 2. **样本空间的有限划分**： - 样本空间的有限划分是指将样本空间划分为若干互不相交的子集，这些子集的并集等于原样本空间。例如，如果B1、B2和B3构成一个有限划分，那么B1的逆（B2∪B3）也可以构成一个有限划分。有限划分不一定是唯一的。 3. **独立随机变量**： - 随机变量X1、X2来自正态分布N(μ, σ^2)。随机变量的和与差的平方，如X1 + X2^2和(X1 - X2)^2，根据抽样分布定理，它们是独立的。这是因为样本均值和样本方差在正态分布中是独立的。 4. **二维正态分布**： - 当两个随机变量Z1和Z2是二维正态分布的线性组合时，它们的相关系数可以通过计算它们的协方差来确定。当相关系数为0时，Z1和Z2相互独立。在第三题中，通过计算Z1 = αX + βY和Z2 = αX - βY的相关系数，可以找出α和β的值，使得Z1和Z2独立。 5. **矩估计**： - 矩估计是一种估计参数的方法，通过计算样本矩并将其等于理论矩来找到估计量。在第四题中，总体概率密度为$f(x,\theta) = \theta x^{\theta-1}$，0 < x < 1。未知参数θ的矩估计可以通过计算样本的期望E(X)并设定E(X) = x来获得。 6. **无偏估计**： - 如果估计量的期望等于真实参数值，那么该估计是无偏的。第五题中，如果θ是θ的无偏估计且D(θ) > 0，θ^2并不一定是θ^2的无偏估计，因为E(θ^2) = D(θ) + [E(θ)]^2不一定等于θ^2。 7. **分布函数转换**： - 若随机变量X的分布函数F(x)连续且严格单调递增，随机变量Y = F(X)的分布函数是FY(y) = P(Y≤y) = P(F(X)≤y) = P(X≤F^(-1)(y)) = F(F^(-1)(y)) = y，0≤y≤1。这意味着Y服从[0,1]上的均匀分布。 8. **报童问题**： - 第三题类似于报童问题，这是一个经典的库存管理问题。海外市场的需求量为随机变量X，公司准备了t吨商品。平均收益计算要考虑销售利润和未售出商品的成本。最大收益发生在供需平衡点，即需求量等于供应量时。 9. **假设检验**： - 第五题中，通过t检验来判断青藏高原地区成年男子的血红蛋白是否正常。由于方差未知，使用t统计量，对比临界值来决定是否拒绝原假设。 10. **最小二乘法**： - 第六题中，最小二乘法用于拟合经验回归方程。根据观测数据(𝑥𝑖,𝑦𝑖)，我们找到使残差平方和最小的系数α和β，从而得到 Yi = α + βXi + ε 的估计。同时，通过相关系数检验回归方程的显著性。 以上就是题目中涉及的主要概率统计知识点，包括极大似然估计、样本空间划分、独立随机变量、二维正态分布、矩估计、无偏估计、分布函数转换、报童问题、假设检验以及最小二乘法。