03166063 郝希烜2

在数学建模中，传染病模型是一种用于理解和预测疾病传播动态的重要工具。本实验报告主要关注如何利用数学模型描述传染病的传播过程，并通过MATLAB软件进行求解和分析。实验旨在通过建立不同的数学模型，探讨传染病的发展规律以及可能的控制策略。 首先，模型1是最基础的模型，假设病人人数x(t)是连续可微的，并且每个病人每天能接触到足够使其致病的人数为常数λ。然而，这个模型忽视了健康人和病人之间的区别，导致病人人数无限增长，不符合实际情况。因此，模型1无法准确描述真实世界中的传染病传播。 模型2引入了SI模型，将人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infected)两类。在这个模型中，总人数N保持不变，每个病人每天有效接触的平均人数λ是常数。当病人与健康者接触时，健康者会变成病人。这个模型通过微分方程Ndidt = λNsi描述了疾病传播的速度。由于s(t) + i(t) = 1，我们可以得到一个关于i(t)的一阶非线性微分方程，其解形如Logistic模型，揭示了传染病传播的饱和趋势。 模型3进一步扩展为SIS模型，除了考虑感染者的增加，还考虑了病人的治愈。每个病人每天有μ的治愈概率，治愈后再次成为易感染者。因此，这个模型中加入了日治愈率μ，使得疾病传播有终止的可能性。解这个模型的微分方程，可以得到疾病在人群中长期动态变化的模式。 模型4是最为复杂的SIR模型，人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三类。病愈者不再被感染，这使得模型更加接近现实。通过日接触率λ和日治愈率μ，我们可以计算出传染期接触数σ。SIR模型通过三个相互关联的微分方程来描述这三个群体的变化，为分析传染病的最终消除提供了理论依据。 在实际应用中，这些模型可以帮助我们预测疾病的传播速度、高峰期以及可能的控制措施的效果。例如，通过调整模型参数，可以模拟不同公共卫生政策（如隔离、疫苗接种等）对疾病传播的影响。MATLAB等数值求解工具能够帮助我们快速计算模型的解，以便进行定量分析和预测。 总的来说，本实验报告通过建立和求解不同类型的传染病模型，展示了数学建模在理解传染病动态方面的强大能力。这些模型不仅有助于科学研究，也为公共卫生决策提供了理论支持。在面对新的、不断变异的传染病时，数学建模的方法显得尤为重要，它可以帮助我们更好地应对和控制疾病的传播。