二分图匹配算法总结1
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2022-08-03
12:21:54
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二分图匹配算法总结
(author:Junhang huang)
二分图最大匹配的匈牙利算法：
二分图是这样一个图，它的顶点可以分类两个集合 X 和 Y，所有的边关联在两个顶点中，
恰好一个属于集合Ｘ，另一个属于集合Ｙ。
最大匹配： 图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。
完美匹配： 如果所有点都在匹配边上，称这个最大匹配是完美匹配。
最小覆盖： 最小覆盖要求用最少的点（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）让每条边都至少和其中一
个点关联。可以证明：最少的点（即覆盖数）＝最大匹配数
最小路径覆盖：用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图Ｇ的所有结点。解决此类问题可
以建立一个二分图模型。把所有顶点 i 拆成两个：Ｘ结点集中的 i 和 Y 结点集中的 i',如果有
边 i->j，则在二分图中引入边 i->j'，设二分图最大匹配为 m,则结果就是 n-m。
最大独立集问题： 在Ｎ个点的图 G 中选出 m 个点，使这 m 个点两两之间没有边．求 m 最
大值．
如果图Ｇ满足二分图条件，则可以用二分图匹配来做．最大独立集点数 = N - 最大匹配数
二分图最大匹配问题的匈牙利算法
算法的思路是不停的找增广轨,并增加匹配的个数,增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数变
多的路径,在匹配问题中,增广轨的表现形式是一条"交错轨",也就是说这条由图的边组成的
路径,它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条
边没有参与匹配,并且始点和终点还没有被选择过.这样交错进行,显然他有奇数条边.那么对
于这样一条路径,我们可以将第一条边改为已匹配,第二条边改为未匹配...以此类推.也就是将
所有的边进行"反色",容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对.另
外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证明,当不能再找到增广轨时,就
得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路。
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