线性代数每日一题（王松年）1
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2022-08-04
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班序号： 学院： 学号： 姓名：王松年 1
【题目】设 A =
3 1 0 0
0 3 0 0
0 0 3 9
0 0 1 3
，则 A
n
= .
解：
经观察，我们可将矩阵按下列方式进行分块：
A =
3 1 0 0
0 3 0 0
0 0 3 9
0 0 1 3
=
A
11
0
0 A
22
A
11
=
3 1
0 3
A
22
=
3 9
1 3
A 分块后是对角矩阵（主对角线之外的元素都为 0），对角矩阵的 n 次方等于各个元素 的 n 次方。
所以：A
n
=
A
n
11
0
0 A
n
22
。
对于 A
11
：
A
11
=
3 1
0 3
=
3 0
0 3
+
0 1
0 0
= 3I + B
二项式定理：(a + b)
n
=
n
i=0
C
i
n
a
i
· b
n−i
, 式中：C
i
n
为组合数，C
i
n
=
n!
i!(n − i)!
。
对于任意 n 阶矩阵 A，如果矩阵的对角线元素以及对角线一侧的元素全为 0，则 A
k
= 0, k ≥ n。
所以：
A
n
11
= (3I + B)
n
= C
0
n
B
0
(3I)
n
+ C
1
n
B
1
(3I)
n−1
+ C
2
n
B
2
(3I)
n−2
+ · · · + C
n
n
B
n
(3I)
0
= 3
n
I + 3
n−1
nB
=
3
n
n3
n−1
0 3
n
对于 n 维方阵 A，如果 r(A) = 1 , 则 A 一定可以分解为一个列向量 α = [a
1
, a
2
, · · · , a
n
]
T
和一个行向量 β
T
= [b
1
, b
2
, · · · , b
n
]
的乘积（此处只给结论，不做证明, 至于 a 和 b 的具体值，也不需要关注。）。
以 3 维来讨论，讨论结果可以推广到 n 维: 即 A = α · β
T
=
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
=
a
1
b
1
a
1
b
2
a
1
b
3
a
2
b
1
a
2
b
2
a
2
b
3
a
3
b
1
a
3
b
2
a
3
b
3
, α
T
β = β
T
α =
a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
, 可以看出 α
T
β = β
T
α 是 A 的主对角线元素之和，记为 l。
则 A
2
= α · β
T
· α · β
T
= αlβ
T
= lA, A
3
= A
2
A = lA · A = lA
2
= l
2
A, · · · , A
n
= l
n−1
A
所以对于 A
22
, 经过高斯消元法变换 (r
1
− 3r
2
) 后:
3 9
0 0
，可以看出 r(A
22
) = 1，符合上边的描述，所以
l = 3 + 3 = 6
A
n
22
= l
n−1
A = 6
n−1
3 9
1 3
所以：
A
n
=
A
n
11
0
0 A
n
22
=
3
n
n · 3
n−1
0 0
0 3
n
0 0
0 0 3 · 6
n−1
9 · 6
n−1
0 0 6
n−1
3 · 6
n−1
♢
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