D9_习题课1
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2022-08-04
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1
习题课
一、 重积分计算的基本方法
二、重积分计算的基本技巧
三、重积分的应用
第九章
重积分的 计算 及应用
一、重积分计算的基本方法
1. 选择合适的坐标系
使积分域多为坐标面(线)围成;
被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序
积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
图示法
列不等式法
(从内到外: 面、线、点)
3. 掌握确定积分限的方法
—— 累次积分法
例1. 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
提示: 利用极坐标
cosRr
原式
2
0
33
d)sin1(
3
2
R
y
D
R
x
o
:D
cos0 Rr
22
例2. 把积分
化为三次积分,
其中由曲面
提示: 积分域为
:
原式
22
0
d),,(
yx
zzyxf
及平面
1
2
d
x
y
1
1
dx
所围成的闭区域 .
z
D
1
z
D
2
例3. 计算积分
其中是两个球
( R > 0 )的公共部分.
提示: 由于被积函数缺 x , y ,
原式 =
z
D
yx
1
dd
zzzRz
R
d)2(
2
0
22
利用“先二后一” 计算方便 .
zz
R
d
2
0
2
z
D
yx
2
dd
zz
R
R
d
2
2
zzRz
R
R
d)(
2
222
5
480
59
R
R
z
y
x
o
2
R
例4. 计算三重积分
其中是由
xoy平面上曲线
所围成的闭区域 .
提示: 利用柱坐标
sin
cos
rz
ry
xx
原式
5
2
2
d
r
x
绕 x 轴旋转而成的曲面与平面
5
2
2
1
xr
100 r
20
rr d
10
0
3
2
0
d
3
250
:
z
x
y
o
5
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