习题8解答1

【概率论】相关知识点详解： 1. **总体均值的假设检验**： - 在第一个问题中，我们处理的是一个正态分布的总体，其中包装机的包装量期望值为500g，标准差为2g。使用的是**U检验**（也称为学生-t检验的一种特殊情况，当总体方差已知时），来检验当天包装机是否正常工作。检验统计量是U= (X_bar - μ_0) / (σ / sqrt(n))，其中X_bar是样本均值，μ_0是假设的总体均值，σ是总体标准差，n是样本大小。通过比较计算出的U值和临界值，我们可以决定是否拒绝零假设。 2. **总体均值的假设检验（方差未知）**： - 第二个问题涉及的也是正态分布，但总体方差未知。此时使用**T检验**，零假设是农药含磷量的均值等于3.25%，检验统计量是T = (X_bar - μ_0) / (S / sqrt(n))，其中S是样本标准差。通过比较T值和临界值，可以判断是否接受零假设。 3. **单侧检验**： - 第三个问题中，我们关心的是高中男生的身高变化是否显著。这里采用了单侧检验，因为我们要确认男生的身高是否显著增加。检验统计量同样是U，但拒绝域在右侧。通过比较U值和临界值，我们可以决定是否拒绝零假设，即平均身高仍然为1.67m。 4. **单侧T检验**： - 第四个问题同样涉及到总体均值的检验，但是是单侧检验，因为我们要确定原木的平均直径是否不低于12cm。这里使用的是T检验的单侧形式，拒绝域在左侧。比较T值和临界值，判断是否拒绝零假设。 5. **方差的假设检验**： - 第五个问题考察的是方差是否变化。使用**卡方检验(Chi-squared test)**，这里的零假设是方差保持不变，检验统计量是χ^2 = [n - 1] * S^2 / σ^2，其中S^2是样本方差，σ^2是总体方差，n是样本大小。比较χ^2值和临界值，以决定是否接受零假设，即方差未改变。 6. **其他统计概念**： - 样本均值(X_bar)：是所有样本值的平均，用来估计总体均值。 - 样本标准差(S)：衡量样本值的离散程度，用于方差未知的情况。 - 临界值：根据显著性水平α查表得出，它界定了拒绝域的位置。 - 显著性水平(α)：通常设定为0.05，表示错误拒绝零假设的概率。 - 拒绝域：当检验统计量落入这个区域时，我们会拒绝零假设。 - 统计决策：基于检验统计量和临界值的关系，做出接受或拒绝零假设的决定。 以上内容涵盖了概率论与数理统计中关于假设检验的基础知识，包括总体均值的检验（方差已知和未知）、方差的检验，以及如何根据数据和统计量进行决策。这些概念在数据分析、质量控制和科学研究中具有广泛的应用。