网络空间安全 18340087 李晨曦 第五次作业1

网络空间安全领域的学习涵盖了许多方面的知识，其中包括了信息安全数学基础。在这个主题中，我们关注的是模运算、原根以及它们在网络安全中的应用。本篇内容主要讨论了原根的计算和性质，以及如何利用原根解决同余方程。 1. 原根的概念：在模p的环境下，如果一个整数g满足对于所有1≤i<p，都有g^i ≡ i (mod p)，那么g被称为模p的原根。原根在密码学中扮演着重要角色，因为它们可以用于构建强大的加密算法。 2. 枚举法寻找原根：在给出的代码中，使用了枚举法来计算一个数x相对于模p的阶（ordp(x)），即找到最小的非负整数k，使得x^k ≡ 1 (mod p)。这通常通过不断自乘x并取模来实现，直到找到满足条件的k。 3. 求最小原根：找到模p的最小原根可以帮助枚举所有原根。在代码中定义了一个函数`find-smallest-root`，它通过迭代找到第一个满足阶等于欧拉函数值φ(p)的数，这个数就是最小原根。 4. 模p的所有原根：一旦找到最小原根，可以通过乘以最小原根的不同幂次来枚举所有原根。`all-root`函数就是这样做的，它使用迭代和欧几里得算法的扩展`coprime?`来检查是否找到了一个新的原根。 5. 欧拉函数与原根的数量：欧拉函数φ(p)给出了模p下整数的阶数，即有多少个数的阶等于φ(p)。在例子中，模81的原根数量是欧拉函数φ(81)的结果。 6. 求模n的原根个数：对于模59的情况，我们首先计算φ(59)，然后通过枚举找到所有原根。在这个例子中，模59的原根个数是28，并列举了这些原根。 7. 存在性问题：如果模n有原根，则存在整数a使得ordn(a) = d，其中d是φ(n)的正因子。反之，若模n无原根，整数a使得ordn(a) = d的存在性是不确定的，取决于d的具体值。 8. 原根与阶的关系：根据欧拉定理，如果a是模n的原根，那么ordn(a) = n。反之，如果n没有原根，无法保证存在a使得ordn(a) = d，其中d是n的任何因子。 9. 同余方程的解：利用原根，我们可以尝试解决同余方程。例如，如果29是6的指数，那么存在一个模41的方程2^u ≡ 7 (mod 41)。然而，通过计算ind6(29) = 7，发现这个方程没有解，因为2的幂无法达到7。 10. 质数与原根：质数通常有原根，这对于构造如RSA这样的公钥加密系统至关重要。例如，41是质数，通过枚举找到一个原根6，可以进一步研究模41的同余方程。 理解和计算原根在网络安全中至关重要，特别是在加密算法的设计和分析中。这些基本概念构成了现代密码学的基石，确保了数据在传输过程中的安全性。