武汉大学数学与统计学院重修试题
2006-2007 学年第二学期《线性代数》(D)
学院 专业 学号 姓名
一、(10 分)设有三阶方阵
1 1 1
0 1 1
0 0 1
A
,求
和
.
二、(15 分)设三阶方阵
满足
,且
,求
及
.
三、(10 分)设
为
阶非零矩阵,且
=O,证明存在
阶非零矩阵
使得
.
四、(20 分) 就
取值讨论非齐次线性方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3
2
2,
x x x
x x x
x x x
是否有惟一解、无解、
有无穷多解? 并在有无穷多解时,求出其通解.
五、(15 分)已知向量组
:
,
,
,
,
求向量组
的秩及一个最大无关组,并给出向量组中不能由其余向量线性表示的向量。
六、(20 分)设二次型
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 2 2 2f x x x x x x x x x
,
(1).写出二次型
的矩阵
;
(2).求
的全部特征值与特征向量;
(3).求一个正交变换
,把二次型
化为标准形;
(4).在
的条件下,求二次型
的最大值和最小值。
七、(10 分)选做题(其中政管院学生做第 1 小题,其他专业学生做第 2 小题)
(1).设有三维向量
,
,
,
求
使得 线性无关,并在
时将
表示为 一个的线性组合.
(2). 设列向量组
为齐次线性方程组
的基础解系,如果列向量
不
是方程组
的解,证明向量组
12
, , , ,
k
线性无关。
武汉大学数学与统计学院重修试题答案
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