奈氏判据AR1
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1
11/21/2013 1
第五节 奈奎斯特稳定判据
自动控制原理B
面向专业：微电子系
授课教师：刘剑毅
11/21/2013 2
一、预备知识：柯西幅角原理：
Notation:
考虑一个复变函数
)())((
)())((
)(
21
21
n
m
pspsps
zszszsK
sF
+++
+++
=
"
"
自变量： s 定义域： S 平面
函数： 值域： 平面
()
F
s
()
F
s
F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面，S平面上的每一点将
映射到F(s)平面上的相应点。
11/21/2013 3
考虑S平面上任一点s
1
映射到F(s)平面上的点F(s
1
)可以用一个
向量来表示，即
1
()
11
() ()
j
Fs
Fs Fs e
∠
=
向量的幅值为
∑
+∠−
∑
+∠=∠
==
n
j
j
m
i
i
pszssF
1
1
1
11
)()()(
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+∠−+∠
=
=
∑∑
+
+
=
==
∏
∏
n
j
j
m
i
i
pszsj
n
j
j
m
i
i
e
ps
zsK
1
1
1
1
)()(
1
1
1
1
∏
∏
=
=
+
+
=
n
j
j
m
i
i
ps
zsK
sF
1
1
1
1
1
)(
)(
)(
∏
∏
=
=
+
+
=
n
j
j
m
i
i
ps
zsK
sF
1
1
1
1
1
)(
向量的相角为
将该函数表示成幅值相角形式：
11/21/2013 4
Problem statement:
现考虑S平面上既不经过零点也不经过极点的一条封闭曲线
C
S
。当变点s沿C
S
顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)
平面上也映射出一条封闭曲线C
F
。
顺时针
F
C
平面)(sF
示意图
⇒
平面s
顺时针
s
C
那么，C
S
与C
F
之间的关系如何？
11/21/2013 5
当S平面上动点s从s
1
经过曲线C
S
到达s
2
，映射到F(s)平面上的
象也将是曲线C
F
上的连续一段，其相角变化量为：
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∑
+∠−
∑
+∠−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∑
+∠−
∑
+∠=
∠−∠=∠Δ
====
n
j
j
m
i
i
n
j
j
m
i
i
pszspszs
sFsFsF
1
1
1
1
1
2
1
2
12
)()()()(
)()()(
Formulation:
考虑S平面上任一点 ，其映射到F(s)平面上的复数的
相角为：
11 1
11
() ( ) ( )
mn
ij
ij
F
sszsp
==
⎡⎤
∠=∠+−∠+
∑∑
⎢⎥
⎣⎦
1
s
s
C∈
[][]
21
22 11
() ( ) ( )
()( )()()
Fs Fs Fs
s
zsp szsp
Δ∠ = ∠ − ∠
=∠ + −∠ + −∠ + −∠ +
为便于分析，不失一般性，假设 中极点和零点都
仅有一个，则
()
F
s
11/21/2013 6
[
]
()
[][]
{}
()
[][ ]
{}
()
12
12
12
21
,
22 11
,
21 2 1
,
() ( ) ( )
()( )()()
()()( )()
ss
s
s
sC ss C
ss C
ss C
Fs Fs Fs
s
zsp szsp
s
zsz spsp
∈⊂
⊂
⊂
Δ∠ = ∠ − ∠
=∠+−∠+−∠+−∠+
=∠+−∠+−∠+−∠+
∑
∑
∑
∑
()
s
z
p
sC
Fs
∈
Θ
Δ∠ = Ω − Ω
∑
[
]
()
12
21
,
()()
s
z
ss C
s
zsz
⊂
Ω= ∠ + −∠ +
∑
[
]
()
12
21
,
()()
s
p
ss C
s
psp
⊂
Ω= ∠ + −∠ +
∑
在整个曲线C
F
上将上述相角差累加起来：
令：
最后得到：
周林深
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