2017-2018高微1期中考试参考答案_6012081921
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2017 年秋季《⾼等微积分 1》期中考试参考解答
2017 年 11 ⽉ 11 ⽇ 8 : 00 − 10 : 00
本试卷分两页, 共七道试题, 其中第 3 题 10 分, 其余每题 15 分.
1 设函数 u(x), v(x) 处处有⼆阶导数, u(x) 的值处处为正数. 定义函数 f(x) = u(x)
v(x)
.
(1) 求 f
′
(x).
(2) 求 f
′′
(x).
要求把计算结果⽤ u, v 及它们的⾼阶导函数表⽰.
解. (1) 利⽤链式法则与 Leibniz 法则进⾏求导, 有
f
′
= (e
v ln u
)
′
= e
v ln u
(v
′
ln u + v
1
u
u
′
) = u
v
(v
′
ln u +
vu
′
u
).
(2) 对 (1) 的结果进⼀步求导, 可得
f
′′
= u
v
(
v
′
ln u +
vu
′
u
)
2
+ u
v
(
v
′′
ln u + v
′
1
u
u
′
+
(v
′
u
′
+ vu
′′
)u − vu
′
u
′
u
2
)
= u
v
(
v
′
ln u +
vu
′
u
)
2
+ u
v
(
v
′′
ln u +
v
′
u
′
u
+
v
′
u
′
u + vu
′′
u − v(u
′
)
2
u
2
)
.
第 (1) 问 7 分; 第 (2) 问第⼀个等式有两项, 每项 4 分.
2 给定 0 < a < b. 定义数列 {x
n
}
∞
n=1
为
x
1
= b, x
n+1
=
√
a(2x
n
− a), ∀n ∈ Z
+
.
(1) 证明: 极限 lim
n→∞
x
n
存在.
(2) 计算极限 lim
n→∞
x
n
的值.
1
周林深
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