2017-2018高微1期中考试参考答案_6012081921

这篇资料涉及的是高等微积分课程的一些重点概念和技巧，主要包含极限、导数、二阶导数、数列收敛性以及连续函数的性质。以下是这些知识点的详细解释： 1. **极限**： - 在问题中，极限被用来证明数列的收敛性和计算函数的导数。例如，通过极限 limn→∞ xn 来证明数列 {xn} 的收敛性，以及利用极限 limx→0 e^(-1/x^2)/x 来计算导数。 2. **导数**： - 导数是微积分的基础，表示函数在某一点的瞬时变化率。题目中提到了导数的定义式 f'(x) = lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h，用于计算 f'(0) 和 f''(0)。 - 利用导数的性质，如链式法则和Leibniz法则，求解复合函数的导数。 3. **二阶导数**： - 二阶导数 f''(x) 是导数的导数，反映函数的凹凸性。在题目中，通过对 f'(x) 求导得到 f''(x)。 4. **数列收敛性**： - 数列 {xn} 的收敛性通过平均不等式和Weierstrass收敛定理来证明。数列满足 xn+1 = √a(2xn - a)，证明其单调性和有界性，进而证明其收敛，并计算极限值。 5. **连续函数与介值定理**： - 连续函数的像集性质：如果 [a, b] 都在函数 f 的像集中，那么存在至少一个 x 在 [a, b] 内使得 f(x) = x。这利用了介值定理（Intermediate Value Theorem）。 6. **洛必达法则**： - 虽然题目中没有明确提到洛必达法则，但在计算某些极限时，可以观察到其思想，比如在计算 f'(0) 和 f''(0) 时，通过变换变量和利用已知极限，避免了0/0型未定义的形式。 7. **指数函数和对数函数**： - 对于指数函数 e^x 和对数函数 ln x 的性质，题目中使用了 ln |f(a + 1/n)| - ln |f(a)| 的极限来计算导数的极限形式。 8. **泰勒公式和L'Hôpital's Rule**： - 虽然题目中没有直接提及泰勒公式和L'Hôpital's Rule（洛必达法则），但利用极限计算导数的方法与这两个规则的概念相呼应，尤其是当涉及到0/0或∞/∞类型的极限时。 这个期中考试的参考答案涵盖了微积分的基本概念和重要工具，包括极限、导数、数列的收敛性以及连续函数的性质，这些都是理解和应用微积分的关键知识点。