EM算法，全称为期望最大化（Expectation-Maximization）算法，是一种在统计学和机器学习领域广泛应用的迭代方法，主要用于含有隐含变量的概率模型的最大似然估计。在本节我们将探讨EM算法的收敛性证明。
我们设定问题背景：假设我们有一组观测数据 \( \mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_n) \)，其中每个样本 \( x_i \) 可能与一个隐含变量 \( Z \) 相关。我们的目标是找到参数 \( \theta \) 的最大似然估计 \( \hat{\theta} \)，但因为隐含变量的存在，直接最大化似然函数变得困难。
EM算法通过引入中间概率分布 \( Q(Z) \) 来解决这个问题。在E步骤（期望步骤）中，我们固定当前的参数估计 \( \theta^{(t)} \) 并计算 \( Q(Z) \)，通常选择为 \( Q(Z) = P(Z | \mathbf{x}, \theta^{(t)}) \)。在M步骤（最大化步骤）中，我们用E步骤得到的 \( Q(Z) \) 来更新参数估计，最大化 \( Q \) 对应的对数似然函数，即 \( \theta^{(t+1)} = \arg\max_{\theta} \mathcal{L}(\theta | Q) \)。
描述中提到的Jensen's不等式是证明EM算法收敛性的一个关键工具。Jensen's不等式指出，对于任意凸函数 \( f \) 和随机变量 \( Z \)，有 \( f(E[Z]) \leq E[f(Z)] \)，等号成立当且仅当 \( Z \) 是常数。应用到EM算法，我们可以得到 \( \mathcal{L}(\theta^{(t+1)} | \mathbf{x}) \geq \mathcal{L}(\theta^{(t)} | \mathbf{x}) \)，即每次迭代后对数似然函数非减。
在E步骤中，根据Jensen's不等式，我们有 \( E_{Q^{(t)}}[\log p(\mathbf{x}, Z | \theta)] \geq \log E_{Q^{(t)}}[p(\mathbf{x}, Z | \theta)] = \log p(\mathbf{x} | \theta^{(t)}) + const \)，其中 \( const \) 是不依赖于 \( \theta \) 的常数。M步骤保证了新的参数 \( \theta^{(t+1)} \) 使得E步骤中的期望最大化，因此 \( \mathcal{L}(\theta^{(t+1)} | \mathbf{x}) \) 不会比 \( \mathcal{L}(\theta^{(t)} | \mathbf{x}) \) 小。
接下来，我们讨论EM算法的收敛性。设 \( M^{(t)} \) 为第 \( t \) 次迭代的对数似然函数值，那么有 \( M^{(t+1)} \geq M^{(t)} \)。由于似然函数是非负的，\( M^{(t)} \) 有上界，即 \( M^{(t)} \leq \log p(\mathbf{x}) \)。随着迭代次数增加，\( M^{(t)} \) 会逐渐增大并趋于某个局部极大值或全局极大值，这表明EM算法能够确保参数估计序列 \( \theta^{(1)}, \theta^{(2)}, ... \) 逐步接近最优解。
在实际应用中，EM算法的收敛速度并不总是很快，可能需要多次迭代才能达到满意的结果。有时，初始化选择对算法的性能有很大影响。例如，在聚类问题中，K均值算法可以视为EM算法的一个特例，其收敛性可以通过类似的方法证明。在K均值中，每个样本被分配到最近的簇中心，然后簇中心被更新为该簇内所有样本的均值，这个过程不断迭代直至簇中心不再显著变化。
总结起来，EM算法通过交替进行期望和最大化步骤，能够在含有隐含变量的模型中寻找最大似然估计，并且具有理论上的收敛性保证。通过Jensen's不等式，我们可以证明每次迭代后对数似然函数非减，从而确保算法能够逐步接近局部最优解。在实际应用中，需要注意初始化策略的选择以及迭代次数的控制，以确保算法的效率和结果的准确性。
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