2013考研数学一真题解析1
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2022-08-03
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2013 年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1.已知极限
0
arctan
lim
k
x
xx
c
x
→
−
=
，其中 k，c 为常数，且
0c
，则（ ）
A.
1
2,
2
kc= = −
B.
1
2,
2
kc==
C.
1
3,
3
kc= = −
D.
1
3,
3
kc==
【考点分析】：无穷小的比较，同阶无穷小，洛必达法则的应用。
【求解过程】：D
0
arctan
lim
k
x
xx
x
→
−
=
2
1
0
1
1
1
lim
k
x
x
kx
−
→
−
+
（洛必达法则）=
2
2
1
0
1
lim
k
x
x
x
kx
−
→
+
=
2
3
0
1
1
lim
k
x
x
kx
−
→
+
=
3
0
1
lim
k
x
kx
−
→
由于 c 为常数，则 k-3=0，即 k=3，因此
1
3
c =
。
【方法总结】：此类题目为典型的基础题，历年真题中出现若干次，也是一种经典的练习题
目，此类题目解题方法比较固定，无非就是，洛必达法则，等价无穷小代换和泰勒公式的使
用，读者对这类题目只要打好基础，多多练习即可；若此类问题解决不好，一定要充分的复
习基础，考研数学基础第一。
2.曲面
2
cos( ) 0x xy yz x+ + + =
在点
(0,1, 1)−
处的切平面方程为（ ）
A.
2x y z− + = −
B.
0x y z+ + =
C.
23x y z− + = −
D.
0x y z− − =
【考点分析】：切平面方程求法。
【求解过程】：A
一个曲面在某个点的切平面方程，核心就是该点处的法向量。法向量为（
Fx
，
F y
，
Fz
）
Fx
=
2 sin( ) 1x y xy−+
=
1
F y
=
sin( )x xy z−+
=
1−
Fz
=
1y =
求得法向量为（1，-1，1），因此
2x y z− + = −
。
【方法总结】：同样是考查基础的题目，详情见高数（同济版下册）98 页，关于切平面和切
线的求法要熟练，教材中例题和本题十分相似，不再赘述。
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