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C10 定积分的应用1
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2022-08-03
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1. 平面图形的面积 2. 平行截面体求体积 3. 平面曲线的弧长与曲率 4. 旋转曲面的面积
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Chapter10
by 定积分的应用
1 Type
1. 平面图形的面积
f(x)连续 S =
Z
a
b
f(x)dx
y(t) 连续
x(t) 连续可微 ^ x
0
=/ 0
S =
Z
α
β
jy(t) · x
0
(t)jdt
r(θ)连续; β ¡ α 6 2π S =
1
2
Z
α
β
r
2
(θ)dθ
2. 平行截面体求体积
A(x)是在x轴上的截面的面积; 且A连续
V =
Z
a
b
A(x)dx
旋转体的体积,绕x轴旋转
f(x)连续 截面面积为πf
2
(x)
)V = π
Z
a
b
f
2
(x)dx
参数方程
x(t)
y(t)
x连续可微,y连续:
V = π
Z
α
β
(y(t))
2
d(x(t)) =
Z
α
β
y
2
x
0
dt
极坐标方程 r(θ)带入x = r cos θ; y = r sinθ;
一般取0 ¡ π V = π
Z
α
β
r
2
sin
2
θd(r cosθ) = πr
3
Z
α
β
1 ¡ cos
2
θd(cosθ)
f(x)绕y轴旋转
V = 2π
Z
a
b
x · f(x)dx
3. 平面曲线的弧长与曲率
弧微分ds = dx
2
+ dy
2
p
f(x)连续可微 s =
Z
a
b
1 + (f
0
(x))
2
p
dx
x(t)
y(t)
连续可微 s =
Z
a
b
(x
0
)
2
+ (y
0
)
2
p
dt
r(θ)光滑 s =
Z
α
β
r
2
+ (r
0
)
2
p
dθ
曲率: lim
∆t!0
∆α
∆s
:α是转过的角度,s是弧长:
为曲线在该点处的密切圆的半径的倒数
α(t) = arctan
y
0
(t)
x
0
(t)
; s(t) =
Z
α
t
(x
0
(p))
2
+ (y
0
(p))
2
p
dp
曲率K =
dα
ds
=
x
0
y
00
¡ x
00
y
0
((x
0
)
2
+ (y
0
)
2
)
3/2
=
jx
0
y
00
¡ x
00
y
0
j
((x
0
)
2
+ (y
0
)
2
)
3/2
对于普通函数: K =
jy
00
j
(1 + (y
0
)
2
)
3/2
1
小埋妹妹
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