这篇资料涉及了线性代数中的多个核心概念，包括向量、向量组的线性相关性、矩阵的特征值、二次型、旋转曲面、矩阵的秩、平面的方程、二次曲面的图形、矩阵的相似性、二次型的标准形以及正定矩阵的性质。以下是这些知识点的详细解释：
1. **向量共面与正交**：向量(1, 0, 1), (1, -1, 0), (1, 1, k)共面意味着存在一组不全为零的常数λ, μ使得这三个向量可以表示为线性组合。向量与这三个向量都正交的单位向量需要满足内积为零的条件。
2. **向量组的秩与极大线性无关组**：向量组的秩指的是它中最大线性无关向量的数量。问题中给出了向量组的元素，可以通过计算它们的行列式或者进行初等行变换来确定秩和极大线性无关组。
3. **矩阵的特征值**：特征值是满足λI - A = 0的λ值，其中I是单位矩阵，A是给定的矩阵。对于矩阵A=(2, t; 0, 2)，1是其特征值意味着(1, 0)^T是对应的特征向量，可以解出t的值。
4. **二次型的惯性指数和图形表示**：二次型的正、负惯性指数分别表示其对应矩阵的正、负特征值的个数。根据给定的二次型f(x, y, z) = 2x^2 + 2xyz + 2z^2，可以计算其系数矩阵并找出特征值，从而确定惯性指数。然后，根据惯性指数，可以识别其对应的二次曲面形状。
5. **旋转曲面的方程**：曲线2x + y = 0绕z轴旋转产生的曲面是通过将曲线上的每一点绕z轴旋转360度得到的。这将形成一个圆柱体，其方程可以根据原曲线和旋转轴来确定。
6. **向量组的等价**：两个向量组等价意味着它们可以互相线性表出。这里，向量组α1, α2与β1, β2等价，这意味着存在非奇异矩阵P，使得β1, β2=Pα1, α2。因此，参数a, b需要满足一定的关系以确保等价性。
7. **矩阵的相似性**：两个矩阵A和B相似意味着存在可逆矩阵P，使得APB=PΛ，其中Λ是对角化后的矩阵。这里，通过比较系数可以得出a, b, c的关系。
8. **向量组的线性相关性**：向量组β1, β2, β3与α1, α2, α3线性无关的条件可以通过构建增广矩阵并检查秩是否保持不变来确定。当p取特定值时，β1, β2, β3仍保持线性无关。
9. **平面的交线**：三个平面的交线是一条直线，当它们的方程联立后解出的方程组有一组非平凡解时。找到交线的方向向量后，可以用对称方程表示这条直线。
10. **矩阵的乘积与指数运算**：已知P和Λ，通过AP = PΛ，可以求解矩阵A。进一步地，A^99可以通过矩阵指数运算求得。
11. **二次型的矩阵表示、标准形与最大值**：二次型f(x, y, z)的矩阵是其系数矩阵，通过正交变换可以将其化为对角形式，即标准形。若a>0，最大值max(f(x, y, z))=a*t可以利用二次函数的性质来求解。
12. **矩阵的相似与正定性**：证明A不与对角阵相似，需要展示不存在可逆矩阵P使得PA=DP。而关于正定矩阵的性质，如果A和B都是正定的，那么A-B和A+B也都是正定的，因此B-A的逆也是正定的。
以上是对给定材料中各个知识点的详细解释，涵盖了线性代数的基本概念和重要定理。
