2014-2015北京化工大学高数（上）期末试卷1

这份2014-2015年北京化工大学高数（上）期末试卷涵盖了高等数学中的多个核心知识点，包括极限、微分、积分、曲线性质、微分方程、极值与拐点的求解、面积与体积的计算、以及函数的性质等。以下是对这些知识点的详细说明： 1. **铅直渐近线**：题目中的第一道填空题涉及到函数𝑓(𝑥) = 𝑥 ― 1ln|𝑥|的铅直渐近线。铅直渐近线出现在函数值趋向无穷大或无穷小的位置。对于𝑓(𝑥)，当𝑥接近0时，由于ln|𝑥|发散，因此𝑥 = 0是铅直渐近线。 2. **微分方程的解**：第二题要求求出由方程𝑦^2 = arctan (𝑥 + 𝑦)确定的dy/dx在𝑥 = 0处的值。这涉及到隐式微分，通过对方程两边同时对𝑥求导，然后解出dy/dx。 3. **曲率**：第三题中，考察了函数𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥在𝑥 = 0处的曲率。曲率K可以通过公式K = |𝑓''(𝑥)| / [1 + (𝑓'(𝑥))^2]^1.5计算，其中𝑓'(𝑥)是函数的一阶导数，𝑓''(𝑥)是二阶导数。 4. **原函数与导数**：第四题中，题目给出了积分𝐹(𝑥) = ∫𝑥21 𝑒―𝑡2𝑑𝑡，要求求它的导数𝐹'(1)。根据基本积分定理，如果𝐹(𝑥)是某个函数的原函数，那么𝐹'(𝑥)就是原函数被积函数的导数。 5. **极限**：第五题要求求解极限lim𝑥→0(1 + 𝑡𝑎𝑛𝑥) / (1 ― 𝑐𝑜𝑠𝑥)，这是典型的洛必达法则应用问题，需要通过对分子分母分别求导后再求极限。 6. **复合函数的导数**：第六题要求求函数𝑦 = 𝑓(𝑒2𝑥)的导数dy/dx和二阶导数d²y/dx²，这需要用到链式法则。 7. **曲线的切线方程**：第七题中，要求求得参数方程ρ = 𝑒𝜃在𝜃 = π/2处的切线方程，需要用到曲线的参数方程到直角坐标方程的转换，然后求导找出切线斜率。 8. **分段函数的积分**：第九题涉及的是分段函数𝑓(𝑥)的积分，要求计算∫31 𝑓(𝑥 ― 2)𝑑𝑥，需要分别在不同的定义域内计算积分。 9. **积分计算**：第十题要求计算不定积分∫(𝑎2 ― 𝑥2)^5 / 21dx，这是一个需要应用幂次规则和部分分式分解的积分问题。 10. **面积**：第十一题是求平面图形的面积，这里需要用到定积分来求解。 11. **旋转体的体积**：第十二题是求旋转体的体积，利用旋转体体积公式或积分方法解决。 12. **函数性质**：第十三题要求分析函数𝑦 = (𝑥 ― 1)^3 / 𝑥^2的单调性、极值、凹凸性和拐点，需要用到导数来判断单调性，二阶导数来判断凹凸性，以及找到拐点。 13. **曲线的长度**：第十四题要求计算心形线和圆的公共部分图形边界长度，这需要应用曲线长度的积分公式。 14. **分段函数的导数**：第十五题求分段函数𝑓(𝑥)的导数𝑓'(𝑥)，需要分别在每一段函数的定义域内求导。 15. **罗尔定理**：最后一题证明了罗尔定理，即在闭区间内连续、在开区间内可导的函数，若两端点函数值相等，那么至少存在一点使得二阶导数为零。 以上是对试卷中涉及的高等数学知识点的详细解析，每道题都反映了高等数学中的重要概念和技能。