动态规划专题之最长公共子序列1

动态规划是一种解决问题的有效方法，尤其在处理序列相关的问题时，如寻找最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）。在这个专题中，我们将深入理解动态规划在解决最长公共子序列问题上的应用。 我们需要明确最长公共子序列的定义。给定两个序列X和Y，一个子序列Z是从X中抽取的元素序列，它保持原顺序但不一定连续。如果Z同时也是Y的子序列，那么Z被称为X和Y的公共子序列。我们的目标是找到这样的Z，它的长度是所有公共子序列中最大的。 题目给出了三个不同的动态规划实现方法：备忘录算法、自底向上的动态规划以及使用两个数组的动态规划。 1. 备忘录算法（自顶向下）： 备忘录算法通常用于递归解决方案，通过一个二维数组B来存储已计算过的子问题结果，避免重复计算。在LCSLength函数中，语句1初始化B[i][j]为0，因为初始状态下没有计算过任何子问题。语句2表示如果X[i-1]等于Y[j-1]，那么当前子问题的解是其左上角子问题解加1，即B[i][j] = LCSLength(i-1, j-1) + 1。语句3则表示否则，当前子问题的解是其左边或上边子问题中的较大值，即B[i][j] = max(LCSLength(i-1, j), LCSLength(i, j-1))。 2. 自底向上的动态规划（LCSLength_1）： 这种方法不使用递归，而是通过循环逐步计算所有的子问题。语句1表示如果X[i-1]与Y[j-1]相同，那么当前子问题的解是其左上角子问题解加1，即B1[i][j] = B1[i-1][j-1] + 1。语句2表示否则，当前子问题的解是其左边或上边子问题中的较大值，即B1[i][j] = max(B1[i-1][j], B1[i][j-1])。 3. 使用两个数组的动态规划（LCSLength_2）： 这种方法与自底向上的动态规划类似，但使用了两个数组pre和cur。pre数组用于存储前一行的值，cur数组用于存储当前行的值。初始化时，两个数组都为0。在这个实现中，我们不再需要显式地检查X和Y的当前位置是否相等，因为数组的更新已经包含了这个条件。因此，代码会直接计算B1[i][j]的值，而不需要分开处理两种情况。 在实际应用中，这些算法都会返回两个序列X和Y的最大公共子序列的长度。为了输出这个子序列本身，我们可以使用回溯方法，从B或B1数组中的最大值位置开始，逐步找到匹配的字符并添加到结果序列中。PrintLCS函数就是用来实现这一过程的。 总结来说，动态规划在解决最长公共子序列问题时提供了一种高效且优雅的解决方案。通过备忘录、自底向上或使用两个数组的方法，我们可以避免重复计算，减少时间复杂度，有效地找到X和Y的最大公共子序列。在编程竞赛或实际项目中，理解和掌握这类问题的动态规划解决方案是至关重要的。