2019-2020年第二学期《点集拓扑学》期末考试(柴昊回忆)1
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2022-08-04
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2019-2020 年第二学期点集拓扑期末考试题
Recalled By 雷锋叔叔们
2020 年 9 月 14 日
1.证明：∂(A ∪ B) ⊂ ∂(A) ∪ ∂(B)
2.设X为不可数集，T 为可数补拓扑，证明(X, T )为连通空间.
3.设X为可数紧致空间，f : X → Y 为连续映射，证明f (X)也是可数紧致空间.
4.设X为拓扑空间，Y 为Hausdorff空间， f : X → Y 为连续映射，证 明{(x, f(x))|x ∈ X}是
积空间X × Y 中的闭子集.
5.设X为正规空间，A, B为其中两个无交的闭集，证明存在开集U, V 使得A ⊂ U, B ⊂ V, U ∩
V = ∅
6.证明有限补空间是第一可数空间的充分必要条件是其为可数集.
7.设X为紧致空间，Y 为T
1
空间，{A
i
|i = 1, 2, 3 . . . }为一个非空闭集下降序列，证明
f (∩
∞
i=1
A
i
) = ∩
∞
i=1
f(A
i
)
8.设X和Y 为两个拓扑空间，证明：映射f : X → Y 是开映射当且仅当(f
−1
(B))
o
⊂ f
−1
(B
o
)
9.在R上考虑如下的等价关系：x ∼ y当且仅当x = y或者x, y ∈ Z，证明商空 间R/ ∼不是第
一可数空间.
10.设X为Hausdorff空间，A为局部紧致空间，证明：存在开集U，闭集F，使得A = U ∩ F .
就回忆者目前的记录来看，目前题目应该没有打印错误，祝考试顺利！
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