线性代数271
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2022-08-03
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线性代数
-27 课 复数矩阵与快速傅里叶变换
一、知识概要
之前我们曾经谈论过复数矩阵，但是对于它的运算与性质并没有进行展开。本
节中我们介绍复数矩阵的运算等特征。并介绍一个重要的复数矩阵：傅里叶矩阵。
其中重点介绍快速傅里叶变换，可以显著减小运算量。
二．复数矩阵
我们从最基本的向量谈起，如果向量中有分量是虚数的话，很明显我们无法再
用普通的公式计算长度和内积。比如：
这个向量。按照我们以前的计算会得
到：
= 0，这样计算出的长度就是 0，但是很明显
这个向量模长为
，这就造成了谬误。在这里我们给出复向量的长度与内积计算方法。
对复数向量
，定义
=
z =
z(先将分量取共轭，再转置相乘)
同样，复数向量的内积变为 yx =
x =
接下来我们谈一谈对称阵，在实矩阵中，
= A，则 A 为对称阵。而在复矩阵
中，这并不成立，而联系上面的向量内积处理方法，我们发现在复矩阵中取共轭
与取转置往往是同步的。所以，复对称矩阵定义为：若
= A，则 A 为对称阵。
例如
，主对角线上为实数，而沿主对角线对称的两个元素共轭。这样
的矩阵我们成为埃尔米特矩阵，
= A。它的特征值皆为实数。且特征向量正
交。
同理，推广到复矩阵的特征向量正交这个概念，即一组 q
1
，q
2
……q
n
。如果
q
j
=
,它们即为一组标准正交基。而这一组标准正交基可以构成
一个矩阵 Q，Q =
，（q 是列向量）。
这样的话就有
Q = I =
Q（前一部分是以前写法，后一部分是类比写法。）
这样的矩阵 Q 称为：酉矩阵。
BellWang
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