圆锥曲线习题证明1
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2022-08-04
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圆锥曲线二级结论的证明
引言 / Introduction
圆锥曲线是高中重要的数学学习内容。圆锥曲线中，不乏很多二级结论。本文简
单做一些证明。
结论及证明 / Proof of Conclusion
Conclusion 1. 过圆
:
+
=2
上任一点 做圆
:
+
=
的
两条切线，则两条切线相互垂直。
Proof 1. 设点 (,) 满足
+
=2
，则显然 在圆
上。
可以写出过点 的直线方程 −=(−)，与 圆
联⽴之，整理可以得
到
(
1+
)
−
(
2
−2
)
+
(
+
−2−
)
=0。稍作整理和化
简得到 ∆=
(
4
−4
)
+8+
(
4
−4
)
=0。
因此，
=
−
−
。作代换
+
=2
得
=−1。原命题得证。
Conclusion 2. 过椭圆 :
+
=1 (>>0) 任一焦点的直线 交 于
、 两点。直线 的倾斜⻆ =
，则 ||=
−
。
Proof 2. 不失一般性，设 经过的焦点为
，另一个焦点为
。连接
和
，记 |
|=
,|
|=
，在三⻆形
中，由余弦定理有
cos
=
+
(
2
)
−
(
2−
)
2(2)
整理得到
=
−
。同理，对于
则得到
=
+
。
因为 ||=|
|+|
|=
+
，⽴即得到
||=
2
−
cos
原命题得证。
∆ Conclusion 3. 过圆
+
=
−
上任意点 作双曲线
−
=1 的
两条切线，则两切线互相垂直。
Proof 3. 设 (,) 满足条件
+
=
−
。设切线 : − = (−)。
则其一般方程为 − +
(
−
)
=0。
这里运⽤一个快速计算直线与圆锥曲线相交 ∆ 正负的公式。
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亚赛大人
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