ch4动态规划1

动态规划是一种强大的算法设计技术，用于解决具有重叠子问题和优化子结构的复杂问题。在计算机科学与工程领域，动态规划广泛应用于各种优化问题，如最短路径、最长公共子序列、背包问题等。本章主要讨论了五个关键的动态规划应用实例。 动态规划原理的核心在于通过存储和重用子问题的解来避免重复计算，从而提高效率。当问题的最优解可以由其子问题的最优解构建时，我们就说问题具有优化子结构。同时，如果在解决问题的过程中，子问题的解会被多次使用，那么就存在重叠子问题。这两个特性是动态规划的基础。 接着，最长公共子序列（LCS）问题是一个经典的例子。LCS是指两个序列中没有顺序要求的最长子序列，同时是两个序列的子序列。通过建立递归关系，我们可以自底向上计算出LCS的长度。递归方程通常基于两种情况：当前字符匹配或不匹配。匹配时，LCS长度加1；不匹配时，保留之前子问题的LCS长度。这种方法的时间复杂度显著优于简单的暴力枚举，后者的时间复杂度为O(n^2m)，而动态规划方法的时间复杂度为O(nm)。 接下来，矩阵链乘法是另一个动态规划的应用，它解决了计算多个矩阵相乘的最优顺序问题，以减少运算次数。通过计算不同矩阵对之间的“成本”（即乘法运算的次数），我们可以构建一个树状结构，并使用动态规划找到最小成本的乘法顺序。 0/1背包问题是一个典型的组合优化问题，目标是在容量有限的背包中选择物品，以最大化总价值。每个物品都有一个重量和一个价值，且每个物品只能取或不取。动态规划解决方案通过构建一个二维数组，其中每个元素表示在特定容量下能装入背包的物品的最大总价值。 最优二叉搜索树（Optimal Binary Search Tree, OBST）问题则涉及构建一个二叉搜索树，使得查找任意关键字的平均时间最短。动态规划可以用来计算每个关键字在树中的最佳位置，从而构建出最高效的树结构。 凸多边形的三角剖分是图形学中的问题，它涉及到将凸多边形分割成一系列不相交的三角形，以便于图形处理和计算。动态规划在此问题中的应用通常涉及找出一种方式，以最少的切割次数将多边形划分为三角形。 动态规划的通用设计步骤包括：分析问题的优化子结构，定义最优解的递归形式，自底向上计算并存储子问题的解，以及根据这些解构造全局最优解。 动态规划是一种强大的工具，它在处理具有重叠子问题和优化子结构的复杂问题时展现出高效性和灵活性。通过深入理解和应用这些基本概念，可以解决许多实际问题，包括但不限于上述的LCS、矩阵链乘法、0/1背包问题、最优二叉搜索树和凸多边形的三角剖分。