测试试卷-数学建模课程期末考试（答案题解）11

这份资料涉及的是数学建模和博弈论的相关知识，主要涵盖了两个部分：一是数学规划问题，二是博弈中的纳什均衡。 一、数学规划问题 这里提到的是一个选址问题，假设要在一个地点建立仓库，以使总运输成本最小。数学规划模型为： 目标函数：\( min \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}c_{ij}x_{ij} \) 约束条件：\( \sum_{j=1}^{n}x_{ij}=1, \quad i=1,2,...,n \) （每个城市只有一个仓库供应） \( x_{ij} \leq 1, \quad i=1,2,...,n; j=1,2,...,n \) （每个仓库至多供应一个城市） 其中，\( c_{ij} \)表示从城市i到城市j的运输成本，\( x_{ij} \)为决策变量，若仓库建在城市j，\( x_{ij} \)为1，否则为0。 二、博弈论中的纳什均衡 纳什均衡是博弈论中的一个关键概念，描述的是在一个策略组合中，每个参与者都无法通过单方面改变策略来提高自己的收益。问题中涉及到的是市民参与公共设施维修的博弈。 1. 纯策略纳什均衡：每个市民有两个策略选择——参与维修(Y)或视而不见(N)。如果所有人都选择N，没有人会得到收益(v-c)，如果有一个人选择Y，他将得到v-c，但其他人没有改变，所以不是纳什均衡。同样，如果所有人都选择Y，那么一个人改为N，他的收益会从v-c增加到v，也不是纳什均衡。 2. 混合策略纳什均衡：在对称混合策略中，所有市民选择Y的概率相同，记为p。一个人选择Y的期望收益为v-c乘以p，选择N的期望收益为v乘以(1-p)的(n-1)次方。在纳什均衡状态下，两者相等，可以推导出p随n的变化规律。 3. 当n增加时，p减小，并且当n趋于无穷大时，p趋于0，意味着在大规模人群中，选择参与维修的概率趋向于零，这符合现实情况，因为个体倾向于依赖他人行动而不是自己承担成本。 总结，这份资料结合了数学规划解决实际问题的方法，以及博弈论中的纳什均衡理论，展示了如何运用数学工具分析复杂社会现象。在解决选址问题时，我们需要优化运输成本，而在理解人们的行为模式时，纳什均衡帮助我们分析了在集体行动中的理性选择。这些知识在解决现实世界中的决策问题时具有重要的理论指导价值。