第14讲 对数函数与多值函数(2020-4-9)1
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2022-08-03
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2.8 对数函数 107
第 14 讲：对数函数与多值函数 2019.4.9
1. 假设 Ω 是平面单连通区域, f 是 Ω 上的全纯函数, 不取
零值. 证明存在 Ω 上的全纯函数 g, 满足函数方程
e
g(z)
= f(z).
这样的 g 唯一吗? (此题说明 Logf (z) 可以取到单值全纯分支,
通常记为 log
Ω
f(z).)
2. 平面中两条曲线定义为
C
1
= {θe
iθ
; θ ≥ 0}, C
2
= {e
θ+iθ
; θ ∈ R} ∪ {0}.
定义区域 Ω
1
= C−C
1
, Ω
2
= C−C
2
. 记 Ω
1
中满足 ψ
1
(1) = 2π
的连续辐角函数为 ψ
1
, 记 Ω
2
中满足 ψ
2
(1/2) = 2π 的连续辐
角函数为 ψ
2
. 求 ψ
1
, ψ
2
的值域.
3 (附加题，不做要求). 求出所有整函数 f, g 满足方程
f
2
+ g
2
= 1.
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