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线性代数4-31
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4.6: 设 4.3: 设 4.4: 设 4.7: 设 4.7 中的四个条件, 4.7 中的四个条件,
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线
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性
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代
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Linear Algebra
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刘鹏
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复旦大学通信科学与工程系
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光华楼东主楼
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1109 Tel: 65100226
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pliu@fudan.edu.cn
pliu@fudan.edu.cn
问题
问题
:
:
非
非
齐次
齐次
线性方程组
线性方程组
AX=b
AX=b
的所有解向量
的所有解向量
是否构成
是否构成
R
R
n
n
上的线性空间?
上的线性空间?
否,因为对线性运算不封闭:
否,因为对线性运算不封闭:
设
设
X
X
1
1
X
X
1
1
是解向量,则
是解向量,则
bXAbXA
=
=
21
,
bXAXAXXA 2
2121
=
+
=
+
)(但
b
≠
对加法运算不封闭,因此不能
对加法运算不封闭,因此不能
构成
构成
R
R
n
n
上的
上的
线性空间
线性空间
.
.
三、过渡矩阵与
三、过渡矩阵与
坐标变换公式
坐标变换公式
定义
定义
4.6
4.6:
设
设
ε
ε
1
1
,
,
ε
ε
2
2
, ...,
, ...,
ε
ε
n
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和
和
ε
ε
'
'
1
1
,
,
ε
ε
'
'
2
2
, ...,
, ...,
ε
ε
'
'
n
n
是
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n
n
维线性空间
维线性空间
V
V
中的两个基,且有
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:
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M
nn
],,,[]',,','[
2121
ε
ε
ε
ε
ε
ε
⋯
⋯
=
则称矩阵
则称矩阵
M
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为由基
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ε
ε
1
1
,
,
ε
ε
2
2
, ...,
, ...,
ε
ε
n
n
到
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基
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ε
ε
'
'
1
1
,
,
ε
ε
'
'
2
2
, ...,
, ...,
ε
ε
'
'
n
n
的
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过渡矩阵
过渡矩阵
(transition matrix)
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.
.
]',,','[],,,[
2121 nn
M
ε
ε
ε
ε
ε
ε
⋯
⋯
=
或:
基
基
变换公式
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M
nn
],,,[]',,','[
2121
ε
ε
ε
ε
ε
ε
⋯
⋯
=
•
•
基变换公式
基变换公式
过渡矩阵是基与基之间的一个
过渡矩阵是基与基之间的一个
可逆线性变换
可逆线性变换
.
.
定理
定理
4.3
4.3:
设
设
ε
ε
'
'
1
1
,
,
ε
ε
'
'
2
2
, ...,
, ...,
ε
ε
'
'
n
n
和
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ε
ε
1
1
,
,
ε
ε
2
2
, ...,
, ...,
ε
ε
n
n
是
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n
n
维线性空间
维线性空间
V
V
中的两个基,且有
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:
:
则
则
M
nn
],,,[]',,','[
2121
ε
ε
ε
ε
ε
ε
⋯
⋯
=
(1)
(1)
过渡矩阵
过渡矩阵
M
M
是可逆的;
是可逆的;
(2)
(2)
若
若
α
α
∈
∈
V
V
,且在基
,且在基
ε
ε
1
1
,
,
ε
ε
2
2
, ...,
, ...,
ε
ε
n
n
和
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ε
ε
'
'
1
1
,
,
ε
ε
'
'
2
2
, ...,
, ...,
ε
ε
'
'
n
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下的坐标分别为
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[
[
x
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1
1
,x
,x
2
2
,...,
,...,
x
x
n
n
]
]
T
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和
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[
[
x'
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1
1
,x'
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2
2
,...,
,...,
x'
x'
n
n
]
]
T
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,则有
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'
'
'
2
1
2
1
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nn
x
x
x
M
x
x
x
⋮⋮
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艾斯·歪
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