hw1_罗雁天_20183107421

这篇内容涉及的是线性代数和凸集理论的知识，主要讨论了凸集的性质和数学归纳法的应用。我们来详细解读每一个题目。 第一题是关于凸集的证明。在数学中，一个集合S被定义为凸集，如果对于集合内的任意两个点x(1)和x(2)，以及任意的λ∈[0, 1]，它们的线性组合λx(1) + (1 - λ)x(2)也属于集合S。证明过程中，首先假设x(1)和x(2)可以通过矩阵A与非负向量y(1)和y(2)关联，即x(1) = Ay(1)，x(2) = Ay(2)。然后通过λ的线性组合保持非负性，得出λx(1) + (1 - λ)x(2) = A(λy(1) + (1 - λ)y(2))，并指出λy(1) + (1 - λ)y(2)非负，因此得出结论S是一个凸集。 第二题是对归纳法证明的运用，目的是证明对任意正整数k和集合S中的k个点x(1), x(2), ..., x(k)，如果λ1 + λ2 + ... + λk = 1且λi ≥ 0，那么其线性组合k∑i=1λix(i)也属于集合S。基础步骤是当k=2时，根据凸集定义证明结论成立。然后假设当k=m时，命题成立，即m个点的线性组合在S内。通过归纳假设，证明k=m+1时的情况，这里利用了λ的分配律和之前归纳假设的结论，最终得到m+1个点的线性组合也在S内，从而完成了归纳证明。 第三题的解答过程没有给出具体内容，但从描述中我们可以推测，它可能涉及了更复杂的凸集问题或者特定的线性组合问题，可能需要结合图3.1来理解解题步骤。 总结起来，这些内容涵盖了以下几个知识点： 1. 凸集的定义及其性质：如何判断一个集合是否为凸集，以及凸集的线性组合特性。 2. 数学归纳法的应用：如何通过归纳法证明一个关于集合和线性组合的命题。 3. 线性代数的基础知识：矩阵和向量的关系，线性组合的概念。 这些知识点在优化方法、线性代数和数学分析等课程中都有重要的地位，是理解和解决相关问题的基础。