第26章-分位数回归1

分位数回归是一种统计分析方法，它弥补了传统回归分析，即均值回归的不足。在传统的线性回归模型中，我们关注的是自变量x对因变量y的条件期望E(y|x)的影响，这实际上是在研究y的均值。然而，实际情况中，我们可能更关心x如何影响y的整个条件分布，而不仅仅是分布的均值。当y的条件分布不对称时，条件期望E(y|x)并不能全面反映分布特性。 分位数回归引入了条件分位数的概念，比如中位数、第一四分位数和第三四分位数，这些分位数提供了关于y条件分布的更多信息。通过估计这些分位数，我们可以更全面地理解x对y影响的分布情况。与均值回归使用残差平方和最小化目标不同，分位数回归采用残差绝对值的加权平均来最小化，这使得它对极端值不那么敏感，具有更好的稳健性。 总体分位数是随机变量Y的累积分布函数(CDF)的一个关键特征。对于连续型随机变量Y，其q分位数qy是满足P(Y≤qy)=q的值，它将总体分成两部分，一部分概率为q，另一部分为1-q。如果q=0.5，那么qy就是中位数。如果CDF严格单调递增，可以通过其逆函数找到分位数。 在回归分析中，条件分布|y x的累积分布函数记为| ( )yFx，其q分位数qy_x（条件分位数函数）满足P(y≤qy_x|x)=q。如果模型的扰动项满足特定条件，如同方差或乘积形式的异方差，条件分位数函数( )qyx将是x的线性函数。例如，在线性回归模型2~ iid(0,)yuuxx中，扰动项u的特性决定了( )qyx的线性形式。 当模型的扰动项同方差时，所有条件分位数函数的斜率相同，等于β，而截距依赖于分位数q。如果存在异方差，条件分位数函数的斜率会随着q的变化而变化，记为qβ。在实际应用中，如果无法得到总体分位数，可以使用样本分位数来估计。样本数据按照大小排序后，样本q分位数 ˆqy是满足P(1≤i≤n, Yi≤ ˆqy)=q的样本观测值的顺序位置。 总结来说，分位数回归是一种强大的工具，它允许我们不仅关注数据的均值，还关注整个分布，特别是对于非对称分布的数据。通过估计不同条件分位数，我们可以获得更丰富的信息，并且由于其对极端值的稳健性，它在处理异常值或分布尾部效应时特别有用。在实际建模时，可以考虑使用分位数回归来捕捉不同部分的效应，尤其是在金融、社会科学和许多其他领域。