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标题"287问题分析1"所描述的是一道编程题,源自LeetCode平台,主要涉及数组处理和算法设计。问题的核心是找出一个长度为n的数组中出现一次的唯一重复数字,而这个数组中的其他数字都出现了两次。题目对解决方案的性能有特定要求,即空间复杂度需为O(1),时间复杂度需小于O(n^2)。 首先,我们可以尝试使用哈希表来解决这个问题,但是由于空间复杂度的要求,这种方法不适用。接下来,我们探讨两种满足时间复杂度要求的算法。 第一种方法是基于二分搜索的算法。这个方法的基本思路是,对于数组中的每个数字m,如果在1到m的范围内没有重复数字,那么这个范围内数字的个数应该不超过m。通过设置start和end两个指针,并计算mid处的数字个数count,如果count大于mid,说明重复数字在前半部分,反之在后半部分。每次搜索范围减半,因此时间复杂度为O(log n)。 第二种方法是环检测,也被称为龟兔赛跑或快慢指针法。在这个方法中,我们将数组元素的下标和其值视为一个映射关系,从{0,1,...,n}到自身的映射。由于数组中只有一个重复数字,根据鸽巢原理,必然存在一个环。我们定义一个从数组元素集合A到自身的映射f,且不存在自映射。这个环(记作ρ)的入口就是重复的数字,因为只有一个重复数字,所以环只有一个入口。我们使用两个指针,一个慢指针每次移动一步,一个快指针每次移动两步,最终快指针会追上慢指针,相遇点就是环的入口,也就是重复的数字。这种方法的时间复杂度为O(n)。 这两种方法都是在寻找数组中的重复元素,但采用了不同的策略。二分搜索利用了排序和比较的特性,而环检测则利用了数组元素的映射关系和快慢指针的相遇性质。在实际应用中,应根据问题的具体情况选择合适的方法。
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问题:
分析:
首先根据鸽巢原理,将整数 1 到
n
放到
1n
个位置上并且每个位置只能放一个数字,必会出现重复
的数字。
首先想到的就是建立 hash 表来做,但题目要求
(1)O
的空间复杂度和小于
2
()O
x
的时
间复杂度,所以有了下面的两个算法
法 1
二分搜索:
考虑 1 到
n
中任意一个数字
m
,如果 1 到
m
没有重复的话,那么小于或等于
m
的数字的个数肯
定不超过
m
,有重复的话肯定大于
m
。
因此我们设
,,start end mid
三个指针,其中
( ) / 2mid start end
。统计数组中
mid
的数
的个数
count
,如果
count mid
,则
end mid
,即搜索前半部分,如果
count mid
,则
1start mid
,即搜索后半部分。时间复杂度为
( log )O n n
法 2
环检测:
首先将数组元素的下标和元素值看成一种映射关系,即从
{0,1, , }n
到自身的映射,画几个例子看
看:
2,5,4,1,1,3
下标:0,1,2,3,4,5
0 2 4 1
3
5
2,1,1,5,1,3
下标:0,1,2,3,4,5
0 2
4
1
3 5
有集合
{0,1, , }An
,设
f
是从
A
到
A
的一个映射,且不存在
xA
使得
( ) 0fx
。由上面的分
析可知至少会形成带一个入口的环,用
表示。题目说的重复数字是存在一对
ij
使
( ) ( )f i f j
,所
以
的入口一定是重复的数字,反过来不一定成立。但题目指出只有一个重复数字,所以只会形成一个
且重复数字只能是
的入口,否则会有多个重复数字。所以用快慢指针法就可以找到重复数字。时间复杂
度为
()On
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