Lucas-Kanade算法1
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2022-08-04
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Lucas-Kanade 算法
算法算法
算法
王
琳
(wanglin193@hotmail.com)
一
一一
一
预备知识
预备知识预备知识
预备知识
1
泰勒展开
泰勒展开泰勒展开
泰勒展开
Taylor expansion
(
标量
)
函数
f(X)
在
X=X
0
附近的一阶泰勒展开式为
0
)()(
00 XX
dX
df
XXfXXf
=
∆+≈∆+
变量
X
可以是
n
维矢量
X=(x
0
, x
1
,…x
n
)
，则
df/dX
为梯度矢量
=
n
dx
df
dx
df
dx
df
dX
df
,...,
10
，
另外，如果
f(X)
是
m
维矢量函数，则得到所谓
Jacobian
矩阵
=
n
mm
n
dx
df
dx
df
dx
df
dx
df
dX
df
...
.........
...
0
0
0
0
2
复合函数
复合函数复合函数
复合函数链式
链式链式
链式求导
求导求导
求导法则
法则法则
法则
Chain rule
在函数
f
对变量
t
求导数的时候，有时
f
和
t
关系是通过中间变量
x,y
联系起来的
,f=f(x,y), x=x(t),y=y(t).
，
那么
df/dt
由下式表示（
<,>
表示内积）：
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
t
y
t
x
y
f
x
f
t
y
y
f
t
x
x
f
dt
df
,,,
二
二二
二
L-K
算法
算法算法
算法
目的是用一组参数
p
从一个图像区域（
patch
）采样
I(x)
，和模板
T(x)
进行匹配，使得误差最小
[
]
∑
−=
patch
xTpXWIE
2
)());((
其中
W(X:p)
是以矢量
p
为参数表达的
image warping
，实际上可以理解为坐标变换，以决定在图像
I
上采样点坐标。比如仿射变换
(Affine transform
），这个
W(X:p)
得到新的坐标点
(x’,y’)
表达为
+
+
=
++
++
+
=
=
1
1
1
'
'
);(
642
531
642
531
y
x
ppp
ppp
pypxp
pypxp
y
x
y
x
pXW
，
关于这个公式需要说明：
6
个参数的仿射变换，需要至少
3
个对应点。
4
个参数的相似变换只表达变比和旋转，需要至少
2
个对应点：
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