2006[1][1].01.08-微3期末考-详细解答1
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清 华 大 学 本 科 生 考 试 试 题 专 用 纸
微积分Ⅲ期终考试 A 卷 2006 年 1 月 8 日
姓名 学号 班级
一、填空题（每空题 3 分，共 39 分）
1．曲面
1
22
zyx
在点
)1,1,1(
的切平面方程是
0322 zyx
.
2．设
f
为连续可微函数，
2)1(
f
.令
)(),,(
2
yzxfzyxg
，则
)1,1,1(g
(4,2,2) 。
解：
4)1,1,1(
x
g
，
2)1,1,1(
y
g
，
2)1,1,1(
z
g
.
)2,2,4()1,1,1( g
3．设
S
为球面
4
222
zyx
上的不与坐标轴相交的一片，则
S
上的点
),,( zyx
的外侧单位法
向量是
2
),,( zyx
；如果
S
的面积等于
A
，则
S
z
yx
y
xz
x
zy dddddd
S
2
3
.
解：
z
k
y
j
x
i
v
,
),,(
2
1
zyxn
.
2
3
nv
.原积分
S
SS
2
3
d
2
3
.
4．常微分方程
052
yyy
的通解为
)2sin2cos(
21
xcxcey
x
。
5．设常微分方程
xyxyxy 2sinsincos
有三个线性无关解
)(
1
xy
，
)(
2
xy
和
)(
3
xy
．则
微分方程
0sincos
yxyxy
的通解是
))()(())()((
312211
xyxyCxyxyC
.
6．假设函数
)(ty
满足方程
tyyy cos1
．则
t
ty
t
)(
lim
0 。
7．设空间光滑曲面
S
的方程为
),( yxfz
，
2
22
yx
，上侧为正．其中函数
),( yxf
有连续
的偏导数．则
S
yxyx dd)(
22
2
。
解：
S
yxyx dd)(
22
2dd
2
0
3
2
0
rr
.
8．设
}1|),,{(
2222
yxzyxzyx
，则三重积分
zyxzyxf ddd),,(
可以化成
球坐标系下的累次积分
4
0
2
1
0
2
0
dsin)cos,sinsin,cossin(dd
f
.
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