无约束优化习题讲义1

【无约束优化习题讲义1】主要涵盖了无约束优化问题中的多项式插值、一维搜索算法的全局收敛性、牛顿迭代法在最优化问题中的应用以及对称秩一拟牛顿法的特性。 1. **多项式插值**： 描述中提到了非精确一维搜索算法中的插值多项式`p(1)`, `p(2)`。给定条件是`p(1)`, `p(1)`的一阶导数和`p(1)`在某点的二阶导数，可以构建一个线性插值多项式`p(1)(t) = ϕ1 + ϕ′1(t - a1) + A(t - a1)^2`。同样，对于`p(2)`，可以设定为`p(2)(t) = ϕ + ϕ′(t - α) + C(t - α)^2`。 2. **一维搜索算法的全局收敛性**： 这部分涉及的是基于某种准则的非精确一维搜索算法的全局收敛性证明。准则指出，函数在两个点的斜率必须满足一定的关系。通过反证法，假设梯度不趋于零，推导出与算法收敛性相矛盾的结论，从而证明了算法的全局收敛性。 3. **牛顿迭代法在最优化问题中的应用**： 对于非线性方程组的求解和最优化问题，牛顿迭代法提供了迭代格式。在无约束优化问题中，目标函数的一阶导数等于零，迭代格式简化为`x(k+1) = x(k) - [∇²f(x(k))]^(-1) ∇f(x(k))`，其中`∇²f(x(k))`是目标函数的二阶导数矩阵（海森矩阵）。 4. **对称秩一拟牛顿法的性质**： 对称秩一拟牛顿法具有遗传性和二次终止性。遗传性是指在迭代过程中，正割条件在每次迭代后都得以保持。二次终止性意味着对于二次函数，当迭代次数足够多时，可以找到全局最优解。这通过证明Hessian矩阵的逆等于特定形式来实现。 总结来说，这个讲义涵盖了优化算法的基础理论，包括多项式插值的构建、算法的全局收敛性分析、牛顿法在最优化中的应用，以及拟牛顿法的关键性质。这些内容对于理解和解决实际优化问题至关重要。