正割法Secant method1

正割法，又称割线法或弦法，是一种在数值分析中用于求解非线性方程根的迭代方法。它的基本思想源自牛顿法，但与牛顿法不同的是，正割法并不直接利用函数的切线，而是采用两相邻点间的割线斜率作为切线斜率的近似值。这种方法简化了对函数导数的需求，尤其适用于导数不易计算或不存在的情况。 正割法的具体步骤如下： 1. 选择两个初始点 `x_n-1` 和 `x_n`，通常要求这两个点不相等且在目标函数的根两侧。 2. 计算这两点对应的函数值 `f(x_n-1)` 和 `f(x_n)`。 3. 通过两点确定一条割线，其方程可以表示为： \( y - f(x_n) = \frac{f(x_n) - f(x_n-1)}{x_n - x_n-1} (x - x_n) \) 4. 找出这条割线与x轴的交点，即令y=0，解出新的点 `x_n+1`： \( x_n+1 = x_n - \frac{f(x_n) (x_n - x_n-1)}{f(x_n) - f(x_n-1)} \) 5. 检查 `x_n+1` 是否满足预设的收敛条件（如两次迭代值之差的绝对值小于某个阈值），如果不满足则将 `x_n+1` 替换 `x_n`，重复步骤2-5。 在实际应用中，如给定的Cardboard反畸变代码中，正割法被用来求解特定问题的根。这段代码通过迭代不断更新 `r0` 和 `r1`，直至它们之间的差异足够小，从而找到满足条件的解 `r1`。 正割法的收敛性质是其重要特性之一。如果初始点 `x_0` 和 `x_1` 足够接近根，那么正割法的收敛速度通常是超线性的，其收敛速率与黄金比例有关。然而，如果初始点远离根或者函数在根附近有不连续或高阶导数缺失的情况，正割法可能无法保证收敛。因此，在使用正割法时，选择合适的初始点和处理可能的发散情况是非常重要的。 正割法作为一种实用的数值求解方法，因其对导数计算的低要求和相对较高的收敛效率，在许多工程和科学计算中都有广泛的应用。不过，它并不总是最优化的选择，对于特定问题，可能需要结合其他方法，如二分法、牛顿法或拟牛顿法等，以达到最佳的求解效果。