行列对称矩阵的LDU分解与Cholesky分解1
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第 28 卷 第 1 期 华 侨 大 学 学 报
(
自 然 科 学 版
)
Vol. 28 No. 1
2007 年 1 月 Journal of Huaqiao University
(
Natural Science
)
Jan. 2007
文章编号 : 100025013
(
2007
)
0120088204
行( 列) 对称矩阵的 LDU分解与 Cholesky 分解
袁晖坪
(
重庆工商大学 理学院 , 重庆 400067
)
摘要 : 提出行
(
列
)
转置矩阵与行
(
列
)
对称矩阵的概念 ,研究它们的性质 ,获得一些新的结果. 给出行
(
列
)
对
称矩阵的 LDU 分解、Cholesky 分解和三对角分解公式 ,可极大地减少行
(
列
)
对称矩阵的 LDU 分解、Cholesky
分解和三对角分解的计算量与存储量 ,而且不会丧失数值精度.
关键词 : 行
(
列
)
转置矩阵 ; 行
(
列
)
对称矩阵 ; LDU 分解 ; Cholesky 分解 ; 三对角分解
中图分类号 : O 151. 21 文献标识码 : A
很多实际问题 ,都可转化成数学线性问题 ,进而利用矩阵解决. 许多应用领域
(
如信息、控制、工程
等
)
中大量出现的都是关于行、列或对角线的对称图象
(
矩阵
)
,关于行或列对称的矩阵的奇异值分解及
QR 分解的计算量与储存量的节省尤为显著
[122]
,不仅短时 Fourier 变换具有对称现象 , Gabor 变换、普
图、Margenau2Hill 分布、Page 分布及 Rihaczek 分布等
[3 ]
均具有零频率轴对称特性 ,晶体结晶点阵、城
区及建筑物的图像上亦有众多典型的对称结构
[4 ]
. 线性代数主要讨论了矩阵的转置和对称性 ,对其他的
对称性很少涉及. 文[526 ]研究了矩阵的次转置与次正定性 ,文[7 ]研究了左
(
右或全
)
转置矩阵. 矩阵的
LDU 分解、Cholesky 分解和三对角分解 ,在系统论、统计学、线性方程组、最优化问题、特征值问题及工
程应用问题中被广泛应用
[829 ]
. 本文在此基础上 ,进一步提出了行
(
列
)
转置矩阵与行
(
列
)
对称矩阵的概
念 ,研究了它们的相应性质 ,给出了行
(
列
)
对称矩阵的 LDU 分解、Cholesky 分解、正交对角分解和三对
角分解的公式. 这无论是对于矩阵理论或应用 ,都是很有意义的. 本文用 J
n
= J 表次对角线元素全为 1 ,
其余元素全为 0 的 n 阶方阵; A
T
,A
S
与 A
3
分别表矩阵 A 的转置、次转置与伴随阵 , R
m ×n
表示 m ×n 实矩
阵集. 显然 , J
T
= J , J
2
= I , J
- 1
= J .
1 行
(
列
)
转置矩阵与行列对称矩阵的概念与性质
定义 设 A =
(
a
ij
)
∈R
m ×n
,则矩阵 A 的行转置矩阵与列转置矩阵 ,并记为 A
R
与 A
C
. 即
A
R
=
a
m1
a
m2
… a
mn
a
m- 11
a
m- 12
… a
m- 1n
⁝ ⁝ ⁝ ⁝
a
21
a
22
… a
2n
a
11
a
12
… a
1n
, A
C
=
a
1n
a
1n- 1
… a
12
a
11
a
2n
a
2n- 1
… a
22
a
21
⁝ ⁝ ⁝ ⁝ ⁝
a
mn
a
mn- 1
… a
m2
a
m1
1
特别地 ,若 A
R
= A
(
A
C
= A
)
,则 A 称为行
(
列
)
对称矩阵;若 A
R
= - A
(
A
C
= - A
)
,则称 A 为行
(
列
)
反对称
矩阵.
定理 1 设 A ∈R
m ×n
,那么 , 有
(
1
)
A
R
= J
m
A , A
C
= AJ
n
;
(
2
) (
A
R
)
T
=
(
A
T
)
C
,
(
A
C
)
T
=
(
A
T
)
R
;
(
3
)
(
A
R
)
S
=
(
A
S
)
C
,
(
A
C
)
S
=
(
A
S
)
R
;
(
4
) (
A
R
)
C
=
(
A
C
)
R
;
(
5
) (
A
R
)
R
= A,
(
A
C
)
C
= A;
(
6
) (
kA
)
R
= kA
R
,
(
kA
)
C
= kA
C
, k 为实数;
(
7
)
另设 B ∈R
m ×n
,则
(
A ±B
)
R
= A
R
±B
R
,
(
A ±B
)
C
= A
C
±B
C
;
(
8
)
另设 B ∈R
n ×k
,则
收稿日期 : 2006205215
作者简介 : 袁晖坪
(
19582
)
,男 ,教授 ,主要从事矩阵论的研究. E2mail :yhp @ctbu. edu. cn.
基金项目 : 重庆市自然科学基金资助项目
(
CSTS 2005 BB 0243
)
; 重庆市教委科研基金资助项目
(
3210271
)
XiZi
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