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2014年考研数学一真题及详细解答1
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2.设函数 3.设 4.若函数 5.行列式 6.设 7.设事件 A,B 想到独立, 8.设连续型随机变量 9.曲面 2.【详解 1】如果对曲线在区间 3.【详解
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慕课考研
1
2014 硕士研究生入学考试
数学一
一、选择题 1—8 小题.每小题 4 分,共 32 分.
1.下列曲线有渐近线的是( )
(A)
xxy sin+=
(B)
xxy sin+=
2
(C)
x
xy
1
sin+=
(D)
x
xy
1
2
sin+=
2.设函数
)(xf
具有二阶导数,
xfxfxg )())(()( 110 +−=
,则在
],[ 10
上( )
(A)当
0)(' xf
时,
)()( xgxf
(B)当
0)(' xf
时,
)()( xgxf
(C)当
0
)(xf
时,
)()( xgxf
(D)当
0
)(xf
时,
)()( xgxf
3.设
)(xf
是连续函数,则
=
−
−−
y
y
dyyxfdy
1
1
1
0
2
),(
( )
(A)
−
−
−
+
2
1
0
0
1
1
0
1
0
xx
dyyxfdxdyyxfdx ),(),(
(B)
−−−
−
+
0
1
0
1
11
0
1
0
2
x
x
dyyxfdxdyyxfdx ),(),(
(C)
++
+
sincossincos
)sin,cos()sin,cos(
1
0
2
1
0
2
0
drrrfddrrrfd
(D)
++
+
sincossincos
)sin,cos()sin,cos(
1
0
2
1
0
2
0
rdrrrfdrdrrrfd
4.若函数
−
−
−−=−−
dxxbxaxdxxbxax
Rba
22
11
)sincos(min)sincos(
,
,则
=+ xbxa sincos
11
( )
(A)
xsin2
(B)
xcos2
(C)
xsin
2
(D)
xcos
2
5.行列式
dc
dc
ba
ba
00
00
00
00
等于( )
(A)
2
)( bcad −
(B)
2
)( bcad −−
(C)
2222
cbda −
(D)
2222
cbda +−
6.设
321
,,
是三维向量,则对任意的常数
lk,
,向量
31
k+
,
32
l+
线性无关是向量
321
,,
线
性无关的( )
(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)非充分非必要条件
7.设事件 A,B 想到独立,
3050 .)(,.)( =−= BAPBP
则
=− )( ABP
( )
(A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4
慕课考研
2
8.设连续型随机变量
21
XX ,
相互独立,且方差均存在,
21
XX ,
的概率密度分别为
)(),( xfxf
21
,随机变量
1
Y
的概率密度为
))()(()( yfyfyf
Y 21
2
1
1
+=
,随机变量
)(
212
2
1
XXY +=
,则( )
(A)
2121
DYDYEYEY ,
(B)
2121
DYDYEYEY == ,
(C)
2121
DYDYEYEY = ,
(D)
2121
DYDYEYEY = ,
二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 把答案填在题中横线上)
9.曲面
)sin()sin( xyyxz −+−= 11
22
在点
),,( 101
处的切平面方程为 .
10.设
)(xf
为周期为 4 的可导奇函数,且
2012 ,),()(' −= xxxf
,则
=)(7f
.
11.微分方程
0=−+ )ln(ln' yxyxy
满足
3
1 ey =)(
的解为 .
12.设
L
是柱面
1
22
=+ yx
和平面
0=+ zy
的交线,从
z
轴正方向往负方向看是逆时针方向,则曲线积分
=+
L
ydzzdx
.
13.设二次型
3231
2
2
2
1321
42 xxxaxxxxxxf ++−=),,(
的负惯性指数是 1,则
a
的取值范围是 .
14.设总体 X 的概率密度为
=
其它,
,
),(
0
2
3
2
2
x
x
xf
,其中
是未知参数,
n
XXX ,,,
21
是来自总体
的简单样本,若
=
n
i
i
XC
1
2
是
2
的无偏估计,则常数
C
= .
三、解答题
15.(本题满分 10 分)
求极限
)ln(
))((
lim
x
x
dttet
x
t
x
1
1
1
2
1
1
2
+
−−
+→
.
16.(本题满分 10 分)
设函数
)(xfy =
由方程
06
223
=+++ yxxyy
确定,求
)(xf
的极值.
17.(本题满分 10 分)
设函数
)(uf
具有二阶连续导数,
)cos( yefz
x
=
满足
xx
eyez
y
z
x
z
2
2
2
2
2
4 )cos( +=
+
.若
0000 == )(',)( ff
,
求
)(uf
的表达式.
慕课考研
3
18.(本题满分 10 分)
设曲面
)(: 1
22
+= zyxz
的上侧,计算曲面积分:
dxdyzdzdxydydzx )()()( 111
33
−+−+−
(1) 证明
0=
→
n
n
alim
;
(2) 证明级数
=1n
n
n
b
a
收敛.
19.(本题满分 10 分)
设数列
nn
ba ,
满足
2
0
2
0
nn
ba ,
,
nnn
baa coscos =−
且级数
=1n
n
b
收敛.
20.(本题满分 11 分)
设
−
−−
=
3021
1110
4321
A
,E 为三阶单位矩阵.
(3) 求方程组
0=AX
的一个基础解系;
(4) 求满足
EAB =
的所有矩阵.
21.(本题满分 11 分)
证明
n
阶矩阵
111
111
111
与
n00
200
100
相似.
22.(本题满分 11 分)
设随机变量 X 的分布为
2
1
21 ==== )()( XPXP
,在给定
iX =
的条件下,随机变量
Y
服从均匀分布
210 ,),,( =iiU
.
(5) 求
Y
的分布函数;
(6) 求期望
).(YE
23.(本题满分 11 分)
设总体 X 的分布函数为
−
=
−
00
01
2
x
xe
xF
x
,
,
),(
,其中
为未知的大于零的参数,
n
XXX ,,,
21
是来自
总体的简单随机样本,
(1)求
)(),(
2
XEXE
;( 2)求
的极大似然估计量.
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XiZi
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