最长递增子序列1

最长递增子序列（LIS）是数组或序列中一个重要的概念，它的目标是找到一个序列的最长子序列，使得这个子序列中的元素是严格递增的。在给定的描述中，我们看到了三种不同的方法来求解LIS问题。 **方法一：动态规划（DP）** 动态规划是最直观且常见的解决LIS问题的方法。状态方程可以表示为 `LIS[i] = max{1, LIS[k]+1}`，这里的`LIS[i]`表示在数组`arr`中，以`arr[i]`结尾的最长递增子序列的长度。我们需要遍历数组，对于每个元素`arr[i]`，检查它能否添加到之前已有的递增子序列中。这个过程可以通过一个一维数组`LIS[]`来记录，最终`LIS[]`的最大值即为最长递增子序列的长度。此外，还可以通过辅助数组`pre[]`记录每个元素在LIS中的前驱，以方便输出一个具体的递增子序列。 **方法二：排序+最长公共子序列（LCS）** 这种方法首先对数组进行排序，然后利用LCS算法来寻找最长的递增子序列。由于LIS是单调递增的，所以它与排序后的序列有LCS，并且LCS就是LIS本身。排序可以采用快速排序等高效算法，然后应用LCS算法找到LIS。 **方法三：DP+二分查找** 在Felix的博客中提到了一种结合动态规划和二分查找的优化方法。在处理每个元素`arr[i]`时，可以使用二分查找在已构建的序列`B[]`中找到合适的位置插入`arr[i]`，从而保持`B[]`的有序性。这样可以显著减少插入操作的时间，将插入的时间复杂度从线性降低到对数级，整体算法的时间复杂度因此变得更优。 以示例序列`d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7`为例，我们可以逐步构建`B[]`。`B[1] = 2`，然后`B[1] = 1`，接着`B[2] = 5`，以此类推，直到最后得到`B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9`。这个序列中的每个元素代表了对应长度LIS的最小末尾，而不是LIS本身，但可以通过这个序列回溯并生成实际的LIS。 总结来说，LIS问题是一个经典的动态规划问题，它可以有多种解决方案，包括但不限于动态规划、排序+LCS以及动态规划与二分查找的结合。每种方法都有其独特的优势和适用场景，理解这些方法可以帮助我们更好地解决实际问题。在实际编程中，根据数据规模和性能要求，可以选择最适合的方法来求解LIS问题。