【高等数学一】期末考试题包含了多个核心知识点，主要涵盖了积分计算、级数收敛性分析、微分方程求解、幂级数展开与收敛域、函数导数、广义积分以及傅里叶级数等内容。
一、计算二重积分是高等数学中的基本技能。题目要求计算积分∬D|𝑦|𝑥2 + 𝑦2d𝑥d𝑦，其中D为圆环区域1≤𝑥2 + 𝑦2≤4。这个积分涉及到极坐标变换，需要将直角坐标下的二重积分转换为极坐标下的积分，并结合圆环的边界条件来求解。
二、第二型曲面积分的计算需要理解曲面上的定向，这里积分表达式为∬S 𝑥d𝑦d𝑧 + 𝑦2d𝑧d𝑥 + 𝑧3d𝑥d𝑦，其中S为曲面𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2的外侧。这需要利用高斯公式或直接在曲面上进行双重积分计算。
三、曲线积分∫𝐿𝑥 d𝑠涉及路径积分，题目中给出了抛物线段𝑦 = 𝑥^22，0 ≤ 𝑥 ≤ 1作为积分路径𝐿。计算时需将参数化曲线转化为积分表达式，并进行积分运算。
四、微分方程的解法是高等数学的重要部分。题目要求找到微分方程𝑥3 + 𝑎𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 d𝑥 + 𝑥3 + 𝑏𝑥2𝑦 d𝑦 = 0为全微分方程时，系数𝑎,𝑏的值，以及求出该方程的通积分。这需要应用全微分方程的性质和解的结构。
五、求解二阶线性常系数非齐次微分方程𝑦′′ - 𝑦 = e^(-𝑥) + sin𝑥的通解，通常采用特征根法和待定系数法。
六、级数的敛散性分析是数列极限和级数理论的关键。题目要求判断级数∞𝑛=1( ―1)^𝑛-1sin(1/𝑛)的敛散性，以及它是绝对收敛还是条件收敛。这需要运用比较判别法、交错级数判别法等。
七、证明级数∞𝑛=1sin(𝑛𝑛)/𝑛在𝑥 ∈ [1, +∞)的一致收敛性，同时要求判断级数∞𝑛=1sin(𝑛𝑛^2)/(𝑛𝑥)的收敛性。这涉及到一致收敛性的定义和判别准则。
八、幂级数的收敛域和和函数的求解是级数理论的一部分。要求求幂级数∞𝑛=1(𝑛 + 1)/2𝑛𝑥^n的收敛域和和函数，需要用到比值判别法和幂级数的和函数公式。
九、幂级数展开和收敛域的确定是函数近似的重要工具。题目要求求函数𝑓(𝑥) = ln(1 - 2𝑥 - 3𝑥^2)在𝑥 = 0处的幂级数展开式，以及收敛域。
十、广义积分的敛散性分析，如积分∫+∞113 𝑥^2/(𝑥 - 1)^2 d𝑥，需要利用Cauchy主值或其他方法判断。
十一、求函数的导数，例如𝑔(𝑦) = ∫e^𝑦 - 𝑦^2 cos(𝑦 + 𝑥^2) d𝑥，这需要应用Leibniz积分法则。
十二、含参瑕积分的一致收敛性和利用其结果计算特定积分，如𝑔(𝑦) = ∫10 𝑥𝑦 d𝑥在𝑦 ∈ [ -1/2, 0]的一致收敛性，以及计算积分∫10𝑥 - 𝑥/𝑥⋅ln(𝑥) d𝑥。
十三、傅里叶级数的求解和和函数的计算，要求函数𝑓(𝑥)以2𝜋为周期，已知在某些区间上的值，进而求其傅里叶级数表达式和和函数。
这些题目综合了高等数学的基本概念和方法，对学生的综合能力有较高的要求。解答这些问题需要深入理解和掌握积分、级数、微分方程等核心概念，同时也需要灵活运用各种计算技巧和定理。
