《计算机科学与技术学院华中科技大学课程设计报告·基于SAT的数独游戏求解程序·王明明·U201714726·李丹指导·2019.3.20· 本课程设计报告主要探讨的是如何利用SAT(Boolean Satisfiability Problem)问题求解算法来解决数独游戏。SAT问题是一个基础的逻辑推理问题,而DPLL(Davis-Putnam-Logemann-Loveland)算法是解决此类问题的一种经典方法,由Davis和Putnam在1960年提出。本报告首先介绍了DPLL算法的基本原理及其在数独求解中的应用,然后讨论了对原始DPLL算法的优化策略,并对比了优化前后的性能差异。 1.1 问题背景 数独是一种逻辑推理游戏,玩家需根据9×9宫格内已给出的部分数字,推理出剩余空白格的正确数字,使得每一行、每一列以及每一个小的3×3宫格内的数字均不重复。而将这一问题转化为SAT问题,即通过布尔变量表示每个单元格可能的数字,通过一系列的约束条件来表示数独的规则。 1.2 研究意义 研究基于SAT的数独求解算法不仅有助于理解SAT问题的本质,也为实际应用如电路设计、规划问题、软件验证等领域提供了理论基础。此外,优化DPLL算法对于提高求解效率具有重要意义。 1.3 本文摘要 本报告首先详细阐述了DPLL算法的工作机制,包括单元格赋值、冲突检测、回溯等步骤。接着,介绍了将数独问题转化为SAT问题的方法,包括如何定义布尔变量,以及构建相应的约束公式。在原DPLL算法基础上,提出了两种优化策略:一是通过剪枝技术减少搜索空间,二是引入启发式函数以指导搜索方向。通过实验对比分析了优化前后的性能,证明了改进算法在解决数独问题上的优越性。 2. 系统总体设计 系统设计主要包括常量和变量定义、算法设计以及程序源代码实现。常量定义了数独的尺寸、变量范围等参数;变量则涵盖了布尔变量、约束条件等核心元素。算法设计部分详细描述了各个关键函数的逻辑,如变量赋值、冲突检测、回溯和剪枝等。程序源代码实现了整个求解流程,从读取数独实例到输出解决方案。 3. SAT问题求解 3.1 总体构想 通过建立布尔变量与数独单元格之间的映射,将每个未确定的单元格看作一个变量,每个变量可以取真(1)或假(0),代表该单元格可能填写的数字。然后,构建一系列的布尔公式,确保每个数独行、列、宫格的合法性。 3.2 存储结构 设计了适当的数据结构来存储布尔变量、约束条件以及当前的解状态。例如,可以使用位向量来表示变量状态,使用邻接矩阵或链表表示单元格间的约束关系。 3.3 DPLL算法思想 DPLL算法采用半定性搜索策略,结合单元格赋值、冲突检测和回溯,逐步寻找满足所有约束的布尔变量组合。当遇到冲突时,通过反向追溯撤销最近的赋值决策,尝试其他可能性。 3.4 DPLL改进思路 优化策略主要集中在剪枝和启发式搜索两方面。剪枝通过提前判断某些分支无法满足所有约束,从而避免无效搜索;启发式搜索则通过优先选择最具信息量的变量来赋值,期望更快找到解。 报告的后续部分详细展示了优化DPLL算法的实现细节,以及实验结果和性能分析,为数独求解和其他类似的约束满足问题提供了有价值的参考。通过这样的设计,不仅加深了对DPLL算法的理解,也锻炼了实际问题的解决能力。
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