十、简单的几何变换1
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2022-08-04
16:48:38
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十、简单的几何变换
在这里我将会介绍一些简单的仿射变换，关于仿射变换的定义可以自行查阅维基百科。
1. 平移
对于一个三维点 P，如果他按照一个三维向量
→平移到点 P’，则点 P’的坐标为
𝑃
=𝑃 + 𝑎
即𝑃
=𝑃
+ 𝑎
、𝑃
=𝑃
+ 𝑎
、𝑃
=𝑃
+ 𝑎
。
2. 缩放
对于一个三维点，我们可以令其在某个方向上面缩放，最简单的就是在坐标轴方向
上的缩放，如一个点 P 在 x 轴方向上面缩放 a 倍，则𝑃′
=𝑎𝑃
。
3. 旋转
这里我也只是简单的介绍一下欧拉旋转，更为复杂一点的四元数我就不说了，我们
可以让某个三维点 P 绕坐标轴旋转θ度得到新的点 P’。我们先看看在二维平面上面的旋
转，如下图：
已知一个顶点 P，以原点为中心，逆时针旋转了θ，我们可以很容易的求出 P’的坐
标。我们设 P 到原点的距离为 r，则可以根据上图得到下面的式子：
𝑥=𝑟.𝑐𝑜𝑠𝛾
𝑦=𝑟.𝑠𝑖𝑛𝛾
𝑥
=𝑟.𝑐𝑜𝑠 (𝜃 + 𝛾)
𝑦
=𝑟.𝑠𝑖𝑛 (𝜃+ 𝛾)
并且我们把 x’和 y’使用三角函数公式展开得到如下式子：
𝑥
=𝑟.𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝛾 − 𝑟.𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝛾
𝑦
=𝑟.𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝛾+ 𝑟.𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝛾
又因为
𝑥=𝑟.𝑐𝑜𝑠𝛾
𝑦=𝑟.𝑠𝑖𝑛𝛾
所以 x’和 y’可以写成
𝑥
=𝑥.𝑐𝑜𝑠𝜃− 𝑦.𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑦
=𝑥.𝑠𝑖𝑛𝜃+ 𝑦.𝑐𝑜𝑠𝜃
这里就得到了顶点在二维上的旋转，实际上我们可以把三维旋转分解成三个轴方向
上的二维旋转，如下图:
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