Lec15-子空间投影1
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2022-08-03
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第 15 课 子空间投影
这一章我们讲投影，从向量的投影入手，延伸到高维投影，并将投影使用矩阵形式来给出。上一
章中我们介绍了正交的基本概念，这一章我们将会使用到这个概念，做投影也即向另一个向量上
做垂线。此外上一章我们讨论了当 无解时的最优解求解问题，但我们并没有解释这个最
优解为何“最优”，本章将会给出相应的解释。
相对简单的二维空间的投影
如上图， 也即向量 在向量 上的投影， 在向量 上，是 的倍数，故令 。将 与 的差
设为 ， 带有误差的意思，同时 的模在某种程度上表示了 到 的最短距离（而这正是最优的体
现：误差最小）。 与 正交。
已 知 ， 而 ，
（ 是 一 个 标 量 ）
注意，其中的 是一个标量，而 是一个矩阵。假设 变为原来的 倍，那么显然投影 也变为
原来的 倍。但如果 变为原来的 倍，整个 并没有发生变化，所以投影 不变。
到这里，我们大概感觉到 此式的妙用了，该式是一个矩阵，令 ，则有 ，我们将
称为投影矩阵，当向量与 相乘后，即可得到向量对应的到 上的投影。
得到投影矩阵后，我们来研究该投影矩阵的性质：
。 中的 是一个矩阵， 是一个标量，所以 ，又
因为 （上一节课最后我们提到的性质二），所以 的
秩为 。
向量 是 的列空间的基，向量 所在的直线是 的列空间。
半清斋
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