homework1解答1

在机器人学中，坐标框架是描述物体位置和姿态的重要工具。本问题涉及到多个与坐标变换、旋转矩阵和欧拉角相关的知识点。 1. 欧拉角表示：欧拉角是一种描述三维空间中刚体旋转的方法，通常用三个角度来表示。在本问题中，我们讨论的是Y-Z欧拉角，即先绕Y轴旋转θ角度，再绕新的Z轴旋转φ角度。这导致了一个从框架B到框架A的3x3旋转矩阵ABR。根据题目，ABR可以通过两个旋转矩阵的乘积得到，即ABR = Ry(θ) * Rz(φ)，其中Ry和Rz分别是关于Y轴和Z轴的旋转矩阵。展开后，我们可以得到ABR的具体形式，它描述了从B到A的坐标变换。 2. 旋转矩阵的组合：这个问题中，我们有一个单一的框架{A}和在这个框架内的位置向量AP。向量AP首先绕Z轴旋转φ角度，然后绕Y轴旋转θ角度。这相当于两个连续的旋转，可以表示为一个旋转矩阵R(φ, θ) = Ry(θ) * Rz(φ)。这与问题1中的矩阵相同，因为两种旋转顺序的组合产生了相同的效果。 3. (a) 给定一个变换矩阵BAT，任务是找到从B到A的旋转矩阵ABT。通过应用特定的矩阵操作，如从第20页讲义的1.26式，我们可以将BAT转换为ABT。完成这个转换后，我们得到了ABT的具体形式。 (b) 当θ=45度，BP= [4, 5, 6]^T时，需要计算AP。AP可以通过将BP乘以ABT矩阵得到，即AP = ABT * BP，计算后得出AP的值。 4. (a) 验证旋转矩阵：给定一个3x3矩阵R，要判断它是否为旋转矩阵，通常需要检查其转置的逆等于单位矩阵I，即RT R = I。对给定的矩阵R进行这个验证，可以确认它确实是一个旋转矩阵。 这些知识点在机器人学和计算机图形学中非常重要，因为它们涉及到了物体在三维空间中的定位和运动描述。理解并能熟练应用旋转矩阵和欧拉角是进行复杂运动分析和控制的基础。在实际应用中，比如机器人臂的运动规划，就需要准确地进行这样的坐标变换。