【密码学作业001 学号__________姓名___________】 1. **非递归版本的欧几里得算法(Euclidean Algorithm)** 欧几里得算法是用来求两个正整数最大公约数(Greatest Common Divisor, GCD)的方法。非递归版本的算法通常使用迭代方式实现: ```markdown function euclideanNonRecursive(a, b): while b ≠ 0: temp = b b = a mod b a = temp return a ``` 这个算法的基本思想是每次用较大的数除以较小的数,并用余数替换较大的数,直到余数为0,此时较小的数即为最大公约数。 2. **递归版本的欧几里得算法** 递归版本的欧几里得算法利用了欧几里得定理的性质,即`gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)`,通过不断递归调用自身来找到最大公约数: ```markdown function euclideanRecursive(a, b): if b == 0: return a else: return euclideanRecursive(b, a % b) ``` 3. **非递归版本的扩展欧几里得算法(Extended Euclidean Algorithm)** 扩展欧几里得算法不仅求出最大公约数,还能找到两个数的最大公约数的线性组合形式`ax + by = gcd(a, b)`: ```markdown function extendedEuclideanNonRecursive(a, b): x = 1 y = 0 xLast = 0 yLast = 1 while b ≠ 0: q = a // b a, b = b, a % b x, xLast = xLast - q * x, x y, yLast = yLast - q * y, y return gcd(a, b), x, y ``` 4. **递归版本的扩展欧几里得算法** 同理,递归版本的扩展欧几里得算法也是基于`gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)`,但还需要记录每次的系数: ```markdown function extendedEuclideanRecursive(a, b, x=1, y=0, xLast=0, yLast=1): if b == 0: return a, x, y else: gcd, xNew, yNew = extendedEuclideanRecursive(b, a % b, xLast, yLast, x, y) return gcd, xNew - (a // b) * xLast, yNew - (a // b) * yLast ``` 5. **扩展欧几里得算法的用途** 扩展欧几里得算法可以用于: - 计算模逆元(用于模运算中的乘法逆) - 解线性同余方程 - 简化有理数 - 计算RSA密钥对的解密指数 6. **欧几里得算法的时间复杂度** 欧几里得算法的时间复杂度是对数量级,具体来说是O(log min(a, b)),因为每次迭代都将至少一个数减半。 7. **直接的幂算法或模幂算法的时间复杂度** 直接的幂算法(如快速幂算法)的时间复杂度是O(log n),其中n为指数。模幂算法是在快速幂基础上进行模运算,同样保持O(log n)的时间复杂度。 8. **证明:gcd(a, b) = d** 假设存在整数x和y使得`ax + by = d`,其中d是最小正整数,那么任何其他形式`ax' + by'`都可以表示为`d + k*lb`,其中k是整数。因此,d是最小正整数,gcd(a, b) = d。 9. **证明:gcd(a, b) = gcd(b, r)** 根据欧几里得定理,`a = bq + r`,有`gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)`。这里,`a mod b`即为r,所以`gcd(a, b) = gcd(b, r)`。 以上就是关于欧几里得算法及其扩展版的详细解释,以及它们在密码学中的应用和相关证明。在实际的密码学作业中,理解并掌握这些概念对于理解和设计安全的加密算法至关重要。
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