Solution of 第三节课习题 (macOS 平台)
张吉祥
2018 年 3 ⽉ 13 ⽇
1 习题说明
2 群的性质
1. {Z,+} 是群。验证:
• 封闭性:∀a
1
, a
2
∈ Z, a
1
+ a
2
∈ Z
• 结合律:∀a
1
, a
2
, a
3
∈ Z, (a
1
+ a
2
) + a
3
= a
1
+ (a
2
+ a
3
)
• ⼳元:∃a
0
(= 0) ∈ Z, s.t.∀a ∈ Z, a
0
+ a = a + a
0
= a
• 逆:∀a ∈ Z, ∃a
−1
(= −a) ∈ Z, s.t.a + a
−1
= a
0
(= 0)
2. {N,+} 不是群。理由:虽然⾃然数集 {N,+} 满⾜封闭性、结合律、⼳元,但是元素 {1,2,3,…}
的逆不存在。
3 验证向量叉乘的李代数性质
证明:记 g=(R
3
, R, ×)
• ∀a, b ∈ R
3
, a × b ∈ R
3
, 故满⾜封闭性;
• ∀a,b,c ∈ R
3
, m, n ∈ R, 有:
(ma + nb) × c = m(a × c) + n(b × c), c × (ma + nb) = m(c × a) + n(c × b)
故满⾜双线性;
• ∀a ∈ R
3
, a × a = 0, 故满⾜⾃反性;
• ∀a, b, c ∈ R
3
, 有
a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) =
b(a · c) − c(a · b) + c(b · a) − a(b · c) + a(c · b) − b(c · a) = 0, 故满⾜雅可⽐等价. 综上有
g=(R
3
, R, ×) 为李代数。
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